Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:19 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
19 - Na figura; calcular a área da região
triangular sombreada. Se : AE = 2m e FB = 4m.

Resposta

---

A) 4m²

[rodBR]

Solução:
Considerando [tex3]EF[/tex3] tangente a semicircunferência em [tex3]T[/tex3], [tex3]\angle AOE=\theta[/tex3] e [tex3]\angle BOF=\alpha[/tex3] e [tex3]R[/tex3] o raio da semicircunferência.

De [tex3]T[/tex3] ser ponto de tangência, pelo Teo. do bico segue que [tex3]AE=ET=2[/tex3] e de maneira análoga [tex3]FB=FT=4 \ m[/tex3]. Disso, temos que [tex3]EF=ET+FT \ \therefore \ ET=6 \ m[/tex3].

[tex3]∆EAO\cong∆ETO[/tex3] (caso [tex3]L.L.L[/tex3]), daí [tex3]\angle AOE=\angle TOE=\theta [/tex3] e de maneira análoga [tex3]∆ FBO\cong ∆FTO\implies[/tex3] [tex3]\angle BOF=\angle TOF=\alpha [/tex3], assim, [tex3]2\alpha +2\theta=180^{\circ}\iff\alpha+\theta=90^{\circ}=\angle EOF[/tex3].

Por [tex3]F[/tex3] trace [tex3]EH\perp BF \
\ (H\in BF) [/tex3]. Como [tex3]AE\parallel BF\implies HF=FB-AE \ \therefore \ HF=2 \ m[/tex3].

Teo. Pitágoras no [tex3]∆EHF[/tex3]: [tex3]EH=\sqrt{6^2-2^2} \ \therefore \ EH=4\sqrt2\iff R=2\sqrt2[/tex3].

Área da região triangular sombreada:
[tex3]A_{sombreada}=\frac{R^2}{2}\iff\boxed{\boxed{A_{sombreada}=4 \ m^2}}[/tex3]




att>>rodBR

[rodBR]

Solução:
Considerando [tex3]EF[/tex3] tangente a semicircunferência em [tex3]T[/tex3], [tex3]\angle AOE=\theta[/tex3] e [tex3]\angle BOF=\alpha[/tex3] e [tex3]R[/tex3] o raio da semicircunferência.

De [tex3]T[/tex3] ser ponto de tangência, pelo Teo. do bico segue que [tex3]AE=ET=2[/tex3] e de maneira análoga [tex3]FB=FT=4 \ m[/tex3]. Disso, temos que [tex3]EF=ET+FT \ \therefore \ ET=6 \ m[/tex3].

[tex3]∆EAO\cong∆ETO[/tex3] (caso [tex3]L.L.L[/tex3]), daí [tex3]\angle AOE=\angle TOE=\theta [/tex3] e de maneira análoga [tex3]∆ FBO\cong ∆FTO\implies[/tex3] [tex3]\angle BOF=\angle TOF=\alpha [/tex3], assim, [tex3]2\alpha +2\theta=180^{\circ}\iff\alpha+\theta=90^{\circ}=\angle EOF[/tex3].

Por [tex3]F[/tex3] trace [tex3]EH\perp BF \
\ (H\in BF) [/tex3]. Como [tex3]AE\parallel BF\implies HF=FB-AE \ \therefore \ HF=2 \ m[/tex3].

Teo. Pitágoras no [tex3]∆EHF[/tex3]: [tex3]EH=\sqrt{6^2-2^2} \ \therefore \ EH=4\sqrt2\iff R=2\sqrt2[/tex3].

Área da região triangular sombreada:
[tex3]A_{sombreada}=\frac{R^2}{2}\iff\boxed{\boxed{A_{sombreada}=4 \ m^2}}[/tex3]




att>>rodBR

Corrigindo:
[tex3]\cancel{ET=6 \ m}\iff EF= 6 \ m[/tex3]