Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:33 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
33 - Na figura; calcular a área da região
sombreada. Se ABCD é um quadrado e o triângulo
DEF é equilátero; se : AD = DF = a.

Resposta

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C) [tex3]\frac{a^2}{12}(6-\sqrt3)[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

dica: [tex3]\angle AEF = 90^{\circ}[/tex3], pois [tex3]D[/tex3] é circuncentro do [tex3]\triangle AED[/tex3] e é ponto médio de [tex3]AF[/tex3].

Ou seja, [tex3]E[/tex3] está no círculo de diâmetro [tex3]AF[/tex3].

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{\angle A(inscrito) = 30^o\\
tg30^o =\frac{DG}{a}\implies DG = \frac{a\sqrt{3}}{3}
\\S_{ADG} = \frac{a.a\sqrt3}{2.3}=\frac{a^2\sqrt3}{6}\\
S_{ACG} = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2\sqrt3}{6}(I)\\
S_{EDG} = S_{AEH}-S_{ADG} = [(\frac{1}{2}.\frac{3a}{2}.\frac{a\sqrt3}{2})-\frac{a^2\sqrt3}{8}]-\frac{a^2\sqrt3}{6}\implies\\
S_{EDG} = \frac{a^2\sqrt3}{4}-\frac{a^2\sqrt3}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{12}(II)\\
(I)+(II) =S=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2\sqrt3}{6}+\frac{a^2\sqrt3}{12}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2\sqrt3}{12}\\
\therefore \boxed{\color{red} S=\frac{a^2}{12}(6-\sqrt3)}








}[/tex3]