Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:36 Tópico resolvido

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Problema Proposto
36 - Na figura, calcular a área da região
triangular ABC; se : 4 (AC) = 5 (CD), AH=3.

Resposta

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Não há alternativa correta (Resposta errada do livro: D) [tex3]\frac{135}{4}u^2[/tex3])

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T é o ponto da circunferência tal que a reta tangente por T é paralela a AD

portanto sendo O o centro do círculo (e ponto médio de AB) temos OT perpendicular a AD.

Logo OT é uma reta perpendicular à AD passando pelo centro do círculo que contém os pontos A e D. Logo OT é mediatriz de AD.

portanto TA = TD e o triângulo ATD é isósceles. Isto implica BT é bissetriz de BA e BD por conta dos ângulos inscritos.

Seja M o ponto de encontro de OT com AD, obviamente M é ponto médio de AD

Seja K o encontro de TH e AD.

K é o encontro das alturas do triângulo AOT sendo portanto o ortocentro de um triângulo isósceles e portanto se encontra na mediatriz de AT.

logo os triângulos AHK e KMT são congruentes e KH = KM e TM = AH = 3.

Como K é o pé da bissetriz em O do triângulo AOM e AOM é semelhante ao ABD cujo pé da bissetriz em B é C temos:
4AK=5KM=5KH, logo, do pitágoras em AKH teremos AK = 5 e KH =4 e então AC =10 e AM = 5 + 4 = 9

como AHK é semelhante a AOM temos AO = 15 e OM = 12 de onde BD = 24

logo a area pedida vale AC * BD/2 = 10*12 =120
(Solução: sousóeu - viewtopic.php?f=4&t=59460&p=157241&hili ... BC#p157241)