Ensino Médio ⇒ Raízes cúbicas de número complexo Tópico resolvido

[Gagázeiro]

A raiz cúbica de um numero complexo z é 8. Determine as outras duas raízes

Eu coloquei w0 como uma das raízes, escrevendo: w0=8+0i=8 --> Iw0I=r=8 e arg(w0)==[tex3]\alpha [/tex3] 0º
As raízes de z seriam da forma: w=[tex3]\sqrt[3]{p} cis\left(\frac{\theta +2k\pi }{3}\right)[/tex3]
Mas como [tex3]\sqrt[3]{p}=r=8[/tex3] e [tex3]\frac{\theta +2k\pi }{3} = \alpha =0 -->\theta =-2k\pi [/tex3]

A partir daí não sei como definir o valor de [tex3]\theta [/tex3]

[catwopir]

Opa, vamos lá.
Temos que:
z=[tex3]8^{3}[/tex3]
z=512cis0
usando a formula de moivre, temos:
z=8.cis [tex3]\frac{0+2k\pi }{3}[/tex3] k={0,1,2}
.........................
z1=8.cis0 -> z=8 <-k=0
z2=8.cis [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3] <-k=1
z3=8.cis [tex3]\frac{4\pi }{3}[/tex3]<-k=2

acho que seja isso.

[Gagázeiro]

Opa, vamos lá.
Temos que:
[tex3]z^{3} = 8^{3}[/tex3]
[tex3]z^{3}[/tex3]=512cis0
usando a formula de moivre, temos:
z=8.cis [tex3]\frac{0+2k\pi }{3}[/tex3] k={0,1,2}
.........................
z1=8.cis0 -> z=8 <-k=0
z2=8.cis [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3] <-k=1
z3=8.cis [tex3]\frac{4\pi }{3}[/tex3]<-k=2

acho que seja isso.

Mas se 8 é raiz cúbica de z, não teria que ser [tex3]\sqrt[3]{z}=8[/tex3]? Em vez de [tex3]z^{3}=8^{3}[/tex3]

[catwopir]

Opa, vamos lá.
Temos que:
[tex3]z^{3} = 8^{3}[/tex3]
[tex3]z^{3}[/tex3]=512cis0
usando a formula de moivre, temos:
z=8.cis [tex3]\frac{0+2k\pi }{3}[/tex3] k={0,1,2}
.........................
z1=8.cis0 -> z=8 <-k=0
z2=8.cis [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3] <-k=1
z3=8.cis [tex3]\frac{4\pi }{3}[/tex3]<-k=2

acho que seja isso.

Mas se 8 é raiz cúbica de z, não teria que ser [tex3]\sqrt[3]{z}=8[/tex3]? Em vez de [tex3]z^{3}=8^{3}[/tex3]

perdão, errei, mas já corrigi

[Gagázeiro]

Opa, vamos lá.
Temos que:
[tex3]z^{3} = 8^{3}[/tex3]
[tex3]z^{3}[/tex3]=512cis0
usando a formula de moivre, temos:
z=8.cis [tex3]\frac{0+2k\pi }{3}[/tex3] k={0,1,2}
.........................
z1=8.cis0 -> z=8 <-k=0
z2=8.cis [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3] <-k=1
z3=8.cis [tex3]\frac{4\pi }{3}[/tex3]<-k=2

acho que seja isso.

Mas se 8 é raiz cúbica de z, não teria que ser [tex3]\sqrt[3]{z}=8[/tex3]? Em vez de [tex3]z^{3}=8^{3}[/tex3]

perdão, errei, mas já corrigi

Então tanto o argumento principal de z quanto das raízes cúbicas é 0 ? Se for isso, eu entendi a questão, e desde já agradeço.

[catwopir]

Opa, vamos lá.
Temos que:
[tex3]z^{3} = 8^{3}[/tex3]
[tex3]z^{3}[/tex3]=512cis0
usando a formula de moivre, temos:
z=8.cis [tex3]\frac{0+2k\pi }{3}[/tex3] k={0,1,2}
.........................
z1=8.cis0 -> z=8 <-k=0
z2=8.cis [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3] <-k=1
z3=8.cis [tex3]\frac{4\pi }{3}[/tex3]<-k=2

acho que seja isso.

Mas se 8 é raiz cúbica de z, não teria que ser [tex3]\sqrt[3]{z}=8[/tex3]? Em vez de [tex3]z^{3}=8^{3}[/tex3]

perdão, errei, mas já corrigi

Então tanto o argumento principal de z quanto das raízes cúbicas é 0 ? Se for isso, eu entendi a questão, e desde já agradeço.

sim, o enunciado diz o seguinte... o 8 é raiz cubica... logo o 8 ao cubo é igual ao z, porém... estamos trabalhando no mundo dos complexos, logo pra extrair as raizes, precisaremos usar a formula de moivre... espero que entenda