Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:49 Tópico resolvido

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Problema Proposto
49 - Na figura, ABCD é um quadrado; calcular
a área da região PBQ; se : AP = 3 e QC = 10

Resposta

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A) 97,5 u²

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gire a figura de 90 graus sentido anti horário em torno do ponto B.
Seja P' o resultado desta rotação aplicada ao ponto P

triângulo APQ é congruente ao triângulo BQP'
já que BP = BP', BQ é comum aos dois triângulos e os ângulos entre BP e BQ e entre BQ e BP' são âmbos de 45 graus

logo PQ = QP' = AP + QC = 13 (P' está sobre a reta DC porque BC = BA)

essa simetria tem várias propriedades interessantes:
a altura BH de BPQ em relação à PQ vale o lado do quadrado
os triângulos BHP e BAP são congruentes bem como BHQ e BQC
BP é bissetriz de AP e PQ, BQ é bissetriz de PQ e CQ

chamando o lado do quadrado de x aplique pitágoras no triângulo PQD

[tex3]\mathsf{13²^2= (x-3)^2 + (x-10)^2\\
169 = 2x^2 - 26x + 109\\
0 = x^2 - 13x -30 \implies \boxed{\color{red}x=15}}[/tex3]

logo BH = 15 e a área de BQP é 15*13/2 = 97,5
(Solução: sousóeu - viewtopic.php?f=4&t=60290&p=159700&hili ... 10#p159700)
Outra resolução: viewtopic.php?f=4&t=89322&p=246250&hili ... 10#p246250