Pré-Vestibular ⇒ (UFRN - 1997) Equação

[robertosep]

Se [tex3]2^{2a}-2^{2b}=55[/tex3]. Qual é o valor de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3]:

[Auto Excluído (ID:3002)]

[tex3]2^{2a}-2^{2b}=55[/tex3]
[tex3](2^a)^2-(2^b)^2=55[/tex3]
[tex3](2^a-2^b)(2^a+2^b)=5 \times 11[/tex3]

Logo temos quatro possibilidades:
I)
[tex3]2^a-2^b=5[/tex3]
[tex3]2^a+2^b=11[/tex3]

Somando as equações temos
[tex3]2 \cdot 2^a=16[/tex3]
[tex3]2^a=2^3[/tex3]
[tex3]a=3[/tex3]
e
[tex3]2^3-2^b=5[/tex3]
[tex3]8-2^b=5[/tex3]
[tex3]2^b=-3[/tex3]
impossível

II)
[tex3]2^a-2^b=11[/tex3]
[tex3]2^a+2^b=5[/tex3]

Somando as equações temos
[tex3]2 \cdot 2^a=16[/tex3]
[tex3]2^a=2^3[/tex3]
[tex3]a=3[/tex3]
e
[tex3]2^3-2^b=16[/tex3]
[tex3]8-2^b=16[/tex3]
[tex3]2^b=-8[/tex3]
impossível

III)
[tex3]2^a-2^b=1[/tex3]
[tex3]2^a+2^b=55[/tex3]

Somando as equações temos
[tex3]2 \cdot 2^a=56[/tex3]
[tex3]2^a=28[/tex3]
[tex3]a=log_228[/tex3]
e
[tex3]2^{log_228}-2^b=1[/tex3]
[tex3]28-2^b=1[/tex3]
[tex3]2^b=27[/tex3]
[tex3]b=log_227[/tex3]

IV)
[tex3]2^a-2^b=55[/tex3]
[tex3]2^a+2^b=1[/tex3]

Somando as equações temos
[tex3]2 \cdot 2^a=56[/tex3]
[tex3]2^a=28[/tex3]
[tex3]a=log_228[/tex3]
e
[tex3]2^{log_228}-2^b=55[/tex3]
[tex3]28-2^b=55[/tex3]
[tex3]2^b=-27[/tex3]
impossível

Portanto [tex3]a=log_228[/tex3] e [tex3]b=log_227[/tex3]