Ensino Médio ⇒ Iezzi Volume Único - Funções (Exercícios Complementares) CAP 3

[Auto Excluído (ID: 27150)]

No gráfico seguinte estão representadas as funções f e g, definidas para todo x [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3].

Captura de tela_2021-12-26_17-08-51.png (25.72 KiB) Exibido 992 vezes

Com base no gráfico, determine os valores de x para os quais:
a) f(x) > 0;
b) g(x) [tex3]\leq [/tex3] 0;
c) f(x) > g(x);
d) a função h(x) = f(x) [tex3]\cdot [/tex3] g(x) assume valores negativos;
e) a função p(x) = [tex3]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3] está definida;
f) a função q(x) = [tex3]\sqrt{2\cdot g(x)-3 }[/tex3].

Resposta

---

a) x > -1
b) x [tex3]\geq[/tex3] 2
c) x > [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
d) x < -1 ou x > 2
e) x [tex3]\neq [/tex3] 2
f) x [tex3]\leq \frac{1}{2}[/tex3]

Alguém pode me explicar passo a passo este exercício , por gentileza, pois com os conceitos abordados no livro mesmo revisando não conseguir resolver a questão. Alguém pode me indicar alguns videos ou materiais em pdf que explicam sobre os conceitos abordados nesse exercício para que eu possa reforçar nessa matéria, por gentileza.

[FelipeMartinMOD]

no gráfico, os valores de [tex3]f(x)[/tex3] são os valores no eixo [tex3]y[/tex3] (eixo vertical, eixo das ordenadas) dados para cada valor de [tex3]x[/tex3] (eixo horizontal, das abscissas) para cada curva vermelha.

Para determinarmos o valor de [tex3]y[/tex3] de um certo [tex3]x_0[/tex3], traçamos uma reta vertical sobre o ponto [tex3]x_0[/tex3] e deixamos ela encontrar a curva [tex3]y = f(x)[/tex3] no ponto [tex3](x_0,f(x_0))[/tex3]. Esse encontro só pode ocorrer uma única vez, do contrário a relação [tex3]y= f(x)[/tex3] NÃO será uma função, será outro tipo de relação.

Aqui:

primeiro.png (27.98 KiB) Exibido 979 vezes

Sabemos, por exemplo, que [tex3]f(\frac12) = \frac 32 = g(\frac12)[/tex3], certo?

Veja que [tex3]f(-1) = 0[/tex3] e que para [tex3]x_0 >-1[/tex3], por exemplo [tex3]x_0 = 0[/tex3], temos que [tex3]f(x_0)[/tex3] está na parte positiva do eixo [tex3]y[/tex3], logo [tex3]f(x_0) > 0[/tex3] para [tex3]x_0 > -1[/tex3] (é óbvio que o gráfico está incompleto, aqui nós inferimos que será uma reta para os demais [tex3]x_0 > -1[/tex3]).

b-) é um raciocínio muito parecido com o anterior, veja que [tex3]g(2) = 0[/tex3] e que [tex3]x<2[/tex3] implica que [tex3]g(x) >0[/tex3]. Como estamos falando de retas, pode verificar que para [tex3]x>2[/tex3] tem-se que [tex3]g(x) < 0[/tex3].

c-) essa já fica mais interessante. Veja que [tex3]f(x) > g(x)[/tex3] é a mesma coisa que [tex3]f(x) - g(x) > 0[/tex3]. Então um jeito de verificar é perceber quando, para um certo [tex3]x_0[/tex3], [tex3]f(x_0) - g(x_0)>0[/tex3], ou seja, quando o gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] está acima do de [tex3]g(x)[/tex3] para um certo [tex3]x_0[/tex3]. Isso acontece para valores acima de [tex3]x = \frac 12[/tex3].

d-) basta analisar quando [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] têm sinais opostos para um dado [tex3]x_0[/tex3].

e-) funções do tipo [tex3]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3] só podem dar dois tipos de problema: quando [tex3]g(x_0) =0[/tex3], pois ai ocorre a divisão por zero; ou quando uma das funções não está definida num certo [tex3]x_0[/tex3], mas a outra está. O enunciado diz que as funções são definidas pra todo [tex3]x \in \mathbb R[/tex3], portanto o segundo tipo de erro não ocorre. Então a função está bem definida para todo [tex3]x[/tex3] real, exceto quando [tex3]g(x) = 0[/tex3], ou seja, exceto quando [tex3]x = 2[/tex3].

f-) basta que [tex3]2g(x) - 3 \geq 0[/tex3], ou seja, [tex3]g(x) \geq \frac 32[/tex3], ou seja, [tex3]x \leq \frac12[/tex3]