Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica

[Santino]

O eixo transverso de uma hipérbole, de excentricidade 1,5 é paralelo ao eixo das ordenadas e mede 8. O centro dessa hipérbole é o ponto (0, -2)

a) Obter a medida do eixo conjugado

b) Obtenha as equações das assíntotas dessa hipérbole

Resposta

---

a) 2 [tex3]\sqrt{5}[/tex3] b) [tex3]\frac{\pm 2\sqrt{5}}{5x -2}[/tex3]

se puder fazer passo a passo e conseguir explicar ( ou me mandar algum link de alguém explicando) o que é "eixo conjugado" e como obter a assíntota fico agradecido

[petrasMOD]

@Santino,
Gabarito errado

Centro: C(0, -2)
Eixo transverso (2a): Como o eixo mede 8 e é paralelo ao eixo das ordenadas (y), temos 2a = 8 [tex3]\Rightarrow[/tex3] a = 4.
Excentricidade (e): e = 1,5 =[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
Orientação: Vertical (eixo transverso paralelo ao eixo y).

O eixo conjugado de uma hipérbole (também chamado de eixo imaginário) é o segmento de reta que passa pelo centro da hipérbole e é perpendicular ao eixo transverso (o eixo que contém os focos). Na equação da hipérbole, o valor de "b" representa o semieixo conjugado.Como o nome diz, o "eixo" completo é o dobro dessa medida (2b)

a) A excentricidade é dada pela relação [tex3]e = \frac{c}{a},[/tex3] onde c é a semidistância focal.
[tex3]c:\frac{3}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow 2c = 12 \Rightarrow c = 6[/tex3]
b (semieixo conjugado) usando a relação fundamental [tex3]c^2 = a^2 + b^2 \implies 6^2 = 4^2 + b^2\\
36 = 16 + b^2 \implies b^2 = 20 \Rightarrow b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}[/tex3]
Medida do eixo conjugado [tex3](2b):2b = 2(2\sqrt{5}) = \boxed{4\sqrt{5}_{//}}[/tex3]

b) As equações das assíntotas partem do centro ([tex3]x_0, y_0[/tex3]) e seguem a fórmula:
[tex3]y - y_0 = \pm \frac{a}{b}(x - x_0)[/tex3]
Substituindo os valores C(0, -2), a = 4 e [tex3]b = 2\sqrt{5}[/tex3]
Coeficiente angular:[tex3] \frac{a}{b} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3]
[tex3]y - (-2) = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}(x - 0) \Rightarrow \boxed{y = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}x-2_{//}}[/tex3]