Ensino Superior ⇒ Séries convergentes/divergentes Tópico resolvido

[lucasAbreuu]

Determine se a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }[/tex3] [tex3]\frac{n^{100}*100^{n}}{n!}[/tex3] é convergente ou divergente usando o teste da razão.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Para o teste da razão usamos, [tex3]L = \lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{ a_{n + 1} }{a_{n}}[/tex3] , então

[tex3]\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(n + 1)^{100}.100^{n+1}}{(n + 1 )!}}{\frac{n^{100}.100^n}{n!}}[/tex3]

[tex3]\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{100}.100^{n+1}.n!}{(n+1)!.n^{100}.100^n}[/tex3]

[tex3]\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{100}.\cancel{100^n}.100.\cancel{n!}}{(n+1).\cancel{n!}.n^{100}.\cancel{100^n}}[/tex3]

[tex3]\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{99}.100}{n^{100}}[/tex3]

Assim,

[tex3]L = 100.\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(n+1)^{99}}{n^{100}} [/tex3]

Esse limite se resume( tem uma propriedade dos limites tendendo ao infinito que me garante isto , ficará como exercício para vc investigar isso. ) em ;

[tex3]L =100.\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^{99}}{n^{100}} [/tex3]

[tex3]L = 100.\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} = 100×0 = 0 [/tex3]

Como L = 0 < 1 , logo a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^{100}.100^{n}}{n!}[/tex3] é convergente!


Excelente estudo!