Ensino Superior ⇒ raio e intervalo de uma série Tópico resolvido

[lucasAbreuu]

Descubra o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
[tex3]\sum_{1}^{\infty } \frac{x^{n}}{1.3.5.7... ...(2n-1)}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{1.3.5.7. \ ... \ .(2n-1)}[/tex3] , trata-se de uma série de potências com [tex3]a_{n} = \frac{1}{1.3.5.7. \ ... \ .(2n-1)}[/tex3]. Determinemos seu raio de convergência.

[tex3]R = \lim_{n \rightarrow + \infty}
\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|[/tex3]

[tex3]R = \lim_{n \rightarrow + \infty}
\left|\frac{\frac{1}{1.3.5.7. \ ... \ .(2n - 1 )}}{\frac{1}{1.3.5.7. \ ... \ .(2n-1).(2n + 1 )}}\right|[/tex3]

[tex3]R = \lim_{n \rightarrow + \infty}
\frac{\cancel{1.3.5.7}. \ ... \ . \cancel{(2n - 1 )}.(2n+1)}{\cancel{1.3.5.7}. \ ... \ .\cancel{(2n-1)}}[/tex3]

[tex3]R = \lim_{n \rightarrow + \infty}
(2n+1) = + ∞[/tex3]

A série converge para todo x ; logo o domínio de
[tex3]f(x) = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{1.3.5.7. \ ... \ .(2n-1)}[/tex3] é IR , ou seja , ] - ∞ ; + ∞ [ ou ainda ( - ∞ ; + ∞ ).


Excelente estudo!

[Cardoso1979]

[tex3]R = \lim_{n \rightarrow + \infty}
\frac{\cancel{1.3.5.7}. \ ... \ . \cancel{(2n - 1 )}.(2n+1)}{\cancel{1.3.5.7}. \ ... \ .\cancel{(2n-1)}}[/tex3]

O "corte" mais correto é :

[tex3]R = \lim_{n \rightarrow + \infty}
\frac{\cancel{1.3.5.7. \ ... \ . (2n - 1 )}.(2n+1)}{\cancel{1.3.5.7. \ ... \ .(2n-1)}}[/tex3]