Ensino Superior ⇒ (China) Funções compostas

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Dado que [tex3]f(x)[/tex3] é uma função definida sobre [tex3]\mathbb{R}[/tex3], satisfazendo [tex3]f(1) = 1[/tex3], e para qualquer x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3],

[tex3]f(x + 5)[/tex3] [tex3]\geq [/tex3] [tex3]f(x) + 5[/tex3], e
[tex3]f(x + 1)[/tex3] [tex3]\leq [/tex3] [tex3]f(x) + 1[/tex3].

Se [tex3]g(x) = f(x) +1-x[/tex3], determine [tex3]g(2002)[/tex3].

Resposta

---

Gabarito: 1

[Gaussiano]

Observe que:
[tex3]g(1)=f(1)+1-1\Rightarrow g(1)=1.[/tex3]
Veja também que [tex3]\forall x\in\mathbb{R}:[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
f(x+5)\geq f(x)+5\Rightarrow g(x+5)+x+4\geq g(x)+x-1+5\Rightarrow g(x+5)\geq g(x) \\
f(x+1)\leq f(x)+1\Rightarrow g(x+1)+x\leq g(x)+x-1+1\Rightarrow g(x+1)\leq g(x) \,(I)
\end{cases}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]g(x+1)\leq g(x+5), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(y)\leq g(y+4), \forall y\in\mathbb{R}\,(II).[/tex3]
Por [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3], tem-se que:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+4), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(z)\leq g(z+3), \forall z\in\mathbb{R}\,(III).[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](III)[/tex3], obtém-se que:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+3), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(w)\leq g(w+2), \forall w\in\mathbb{R}\,(IV).[/tex3]
Com [tex3](I)[/tex3] e [tex3](IV)[/tex3], chega-se a:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+2), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(t)\leq g(t+1), \forall t\in\mathbb{R}\,(V).[/tex3]
Finalmente, [tex3](I)[/tex3] e [tex3](V)[/tex3] resultam que:
[tex3]g(x)=g(x+1), \forall x\in\mathbb{R}.[/tex3]
Daí, [tex3]g(2002)=g(1)\Rightarrow g(2002)=1.[/tex3]