Pré-Vestibular ⇒ (PAS 3-2016 UnB) Números Complexos

[amabda53]

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Na figura acima, uma estrela de 5 pontas é representada no plano de coordenadas cartesianas ortogonais [tex3]x[/tex3] O [tex3]y.[/tex3] Cada ponto (x, y) desse plano está identificado com um número complexo [tex3]z = x + iy,[/tex3] em que [tex3]i =\sqrt{-1}[/tex3] é a unidade imaginária. A respeito dessa figura, −1 sabe-se que:

• C os pontos q₁, q₂, q₃, q₄ e q₅ estão localizados nos vértices de um pentágono e são as raízes complexas da equação [tex3]z^5 = -1,[/tex3] estando, portanto, sobre a circunferência de centro na origem e raio unitário [tex3](|z| = 1)[/tex3];

• os pontos p₁, p₂, p₃, p₄ e p₅ são as raízes complexas da equação [tex3]z^5 = L^5[/tex3], em que [tex3]L = \frac{3 + \sqrt{5}}{2};[/tex3]

• os pontos de cada um dos seguintes conjuntos {p₁, q₁, q₂, p₃}, {p₂, q₂, q₃, p₄}, {p₃, q₃, q₄, p₅} {p₄, q₄, q₅, p₁} e { p₂, q₁, q₅, p₅} estão sobre segmentos de retas, conforme mostrado na figura.

A partir dessas informações, julgue os itens de 88 a 92, assinale a opção correta no item 93, que é do tipo C, e faça o que se pede no item 94, que é do tipo B.

90 Para se obter a estrela de 5 pontas rotacionada, em torno da origem e no sentido anti-horário, de um ângulo de radiano, [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] é suficiente multiplicar todos os seus pontos por [tex3]i.[/tex3]

91 As coordenadas do ponto q₁ são iguais a [tex3](\cos\frac{\pi}{10} , \, \sen\frac{\pi}{10} ).[/tex3]

Resposta

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Gabarito: C e E

[LostWalker]

Introdução

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Usaremos a forma [tex3]|z|\cis(\theta)=|z|\cdot\(\cos(\theta)+i\sen(\theta)\)[/tex3]. Sabemos que o módulo é [tex3]1[/tex3], já que [tex3]z^5=-1[/tex3], logo [tex3]z=\cis(\theta)[/tex3].


Sabemos também que [tex3]-1=\cis(\pi)[/tex3], e com isso, podemos fazer as modificações:

[tex3]z^5=\cis(\pi)[/tex3]

[tex3]z^5=\cis\(\frac{5\pi}{5}\)[/tex3]

[tex3]z^5=\cis^5\(\frac{\pi}{5}\)[/tex3]

[tex3]\boxed{z=\cis\(\frac{\pi}{5}\)}[/tex3]




Questão 90

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Começamos por [tex3]i=\cis\(\frac{\pi}{2}\)[/tex3], logo, ao multiplicar em [tex3]z^n[/tex3], onde [tex3]n=1,2,3,4,5[/tex3] (isso corresponde aos 5 pontos [tex3]q_n[/tex3]):

[tex3]z^n\cdot i=\cis\(\frac{n\pi}{5}\)\cis\(\frac{\pi}{2}\)=\cis\(\frac{n\pi}{5}+\frac{\pi}{2}\)[/tex3]


Ou seja, todos os pontos irão rotacionar sim em [tex3]90^\circ[/tex3]. [tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Certo}[/tex3]




Questão 91

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Com os dados da introdução, temos na verdade que [tex3]q_1=\(\cos\(\frac{\pi}{5}\),\sen\(\frac{\pi}{5}\)\)[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Errado}[/tex3]