Pré-Vestibular ⇒ UFMS-2021

[MORANGA]

De uma turma de 15 alunos, serão escolhidos cinco deles para uma excursão de pesquisa no Pantanal. Porém, é sabido que dois componentes da turma, destetam-se mutuamente, não sendo aconselhável que eles façam parte do grupo excursionista. Sendo, assim, o número de formas como pode ser composto o grupo de cinco alunos que irão ao Pantanal é igual a :
a) 3003
b) 2717
c) 1716
d) 1287
e) 715


Resposta : B

[deOliveira]

Sejam A e B os alunos que se detestam.
Temos três possibilidades para montar o grupo:
1) Sem os dois alunos que se detestam
2) Com o aluno A e sem o aluno B
3) Com o aluno B e sem o aluno A

Sejam [tex3]n_1[/tex3], [tex3]n_2[/tex3] e [tex3]n_3[/tex3] o número de possibilidades para cada tipo 1), 2) e 3) de grupo respectivamente.

Em 1) vamos excluir A e B da turma e escolher [tex3]5[/tex3] alunos, então vamos escolher [tex3]5[/tex3] alunos de [tex3]13=15-2[/tex3] e como a ordem não importa temos que
[tex3]n_1=C^{13}_5=\frac{13!}{8!\cdot5!}=1287[/tex3]

Em 2) vamos levar A então restam [tex3]4[/tex3] vagas no grupo, e como B não vai à excursão, temos de escolher [tex3]4[/tex3] alunos de [tex3]13=15-\underbrace{2}_{A\ e\ B}[/tex3]. Como a ordem não importa temos que
[tex3]n_2=C_{4}^{13}=\frac{14!}{10!\cdot 4!}=715[/tex3]

3) é essencialmente igual a 2), logo [tex3]n_3=n_2=715[/tex3].

Então, o número de formas que temos para montar os grupo é [tex3]N=n_1+n_2+n_3=1287+715+715=2717[/tex3].

Espero ter ajudado.