Cap. 2 - Segmentos de Recta ⇒ Solucionário:Racso - Cap II - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:30 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
30 - Sobre uma reta XX' se marcam em forma
consecutiva os puntos: A1, A2 , A3, A4--· An
de modo que: A1A_n= 1800 e A1A3 + A2A4 + A3A5 + .... A_n=2 A_n = 3000.
Calcular a medida do segmento que tem por extremos os pontos
médios dos segmentos A1A_n-1 e A2A_n

Resposta

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B) 300

[LostWalker]

Construção da Reta

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Com os elementos do enunciado, podemos constituir a seguinte reta:

[tex3]a_1-\!\!\!-\,\,\,a_2-\!\!\!-\,\,\,a_3-\!\!\!-\,\,\,a_4-\!\!\!-\cdots-\!\!\!-\,\,\,a_{n-3}-\!\!\!-\,\,\,a_{n-2}-\!\!\!-\,\,\,a_{n-1}-\!\!\!-\,\,\,a_n [/tex3]


Com a segunda informação do enunciado, tome que [tex3]\overline{a_ia_{i+2}}=\overline{a_ia_{i+1}}+\overline{a_{i+1}a_{i+2}}[/tex3], ao visualizar assim, é intuitivo enxergar que todos as medidas [tex3]\overline{a_ia_{i+1}}[/tex3] aparecem duas vezes, com exceção de [tex3]\overline{a_1a_2}[/tex3] e [tex3]\overline{a_{n-1}a_n}[/tex3]. Agora, vamos tomar que:

[tex3]x=\overline{a_1a_2}\\y=\overline{a_2a_{n-1}}\\z=\overline{a_{n-1}a_n}[/tex3]


Logo, com a informação do parágrafo acima, ela é contada duas vezes, com isso, podemos denotar da reta que:

[tex3]3000=a_1\!\!\!\underbrace{\phantom{a}-\!\!\!-\phantom{a}}_x\!\!a_2\!\!\!\!\overbrace{\phantom{a,}-\!\!\!-\phantom{a}a_3-\!\!\!-\phantom{a}a_4-\!\!\!-\cdots-\!\!\!-\phantom{a}a_{n-3}-\!\!\!-\phantom{a}a_{n-2}-\!\!\!-\phantom{aa}}^{2y}\underbrace{\!\!\!\!\!a_{n-1}-\!\!\!-\phantom{a,}}_z\!\!\!a_n [/tex3]


Enquanto que, com a primeira informação:

[tex3]1800=a_1\!\!\!\underbrace{\phantom{a}-\!\!\!-\phantom{a}}_x\!\!a_2\!\!\!\!\overbrace{\phantom{a,}-\!\!\!-\phantom{a}a_3-\!\!\!-\phantom{a}a_4-\!\!\!-\cdots-\!\!\!-\phantom{a}a_{n-3}-\!\!\!-\phantom{a}a_{n-2}-\!\!\!-\phantom{aa}}^{y}\underbrace{\!\!\!\!\!a_{n-1}-\!\!\!-\phantom{a,}}_z\!\!\!a_n [/tex3]




Calculando os pontos médios

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"Já que por algum motivo eu me dei ao trabalho de construir essa linha, eu vou usar ela até cansar."

Tomando [tex3]a_1[/tex3] como ponto de origem da reta, a distância de [tex3]a_1[/tex3] ao ponto médio de [tex3]\overline{a_1a_{n-1}}[/tex3] pode ser descrito como:

[tex3]a_1\!\!\!\overbrace{\phantom{a}-\!\!\!-\phantom{a}}^x\!\!a_2\!\!\!\!\overbrace{\phantom{a,}-\!\!\!-\phantom{a}a_3-\!\!\!-\phantom{a}a_4-\!\!\!-\cdots-\!\!\!-\phantom{a}a_{n-3}-\!\!\!-\phantom{a}a_{n-2}-\!\!\!-\phantom{aa}}^{y}{}\!\!\!\!\!a_{n-1}-\!\!\!-\phantom{a,}\!\!\!a_n\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa_n}}_{\frac{x+y}{2}}[/tex3]


Enquanto que a distância de [tex3]a_1[/tex3] ao ponto médio de [tex3]\overline{a_2a_n}[/tex3], pode ser descrito como:

[tex3]a_1\!\!\!\underbrace{\phantom{a}-\!\!\!-\phantom{_{n}}}_x\!\!a_2\!\!\!\!\overbrace{\phantom{a,}-\!\!\!-\phantom{a}a_3-\!\!\!-\phantom{a}a_4-\!\!\!-\cdots-\!\!\!-\phantom{a}a_{n-3}-\!\!\!-\phantom{a}a_{n-2}-\!\!\!-\phantom{aa}}^{y}\overbrace{\!\!\!\!\!a_{n-1}-\!\!\!-\phantom{a,}}^z\!\!\!a_n \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaa_n}}_{\frac{y+z}{2}}[/tex3]




Equações

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"Então, eu passei o dia todo estudando física, já da para ver pelas fórmulas que eu não to legal, mas pelo menos, vai, tá bonitinho"

Bem, vamos listar primeiro a diferença dos pontos médios:

[tex3]\Delta=x+\frac{y+z}{2}-\frac{x+y}{2}[/tex3]

[tex3]\Delta=\frac{2x+y+z-x-y}{2}[/tex3]

[tex3]\color{PineGreen}\boxed{\Delta=\frac{x+z}{2}}[/tex3]


Vale ressaltar que [tex3]x[/tex3] e [tex3]z[/tex3] são as distâncias do primeiro e último seguimento da reta.


Se tomarmos as equações encontradas pelas informações do enunciado:

[tex3]\left\{\begin{matrix}3000=x+2y+z\\1800=x+y+z\end{matrix}\right.[/tex3]

[tex3]\left\{\begin{matrix}3000=x+2y+z\\3600=2x+2y+2z\end{matrix}\right.[/tex3]


Subtraindo a de baixo pela de cima:

[tex3]600=x+z[/tex3]


Apenas fazendo uma mudança na equação:

[tex3]{\color{PineGreen}\frac{x+z}{2}}=\frac{600}{2}[/tex3]

[tex3]{\color{PineGreen}\Delta}=300[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\Delta=300}[/tex3]