Ensino Superior ⇒ Equação Canônica e ângulo de rotação

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Seja Σ = (O, [tex3]\rightarrow [/tex3] e1, [tex3]\rightarrow [/tex3] e2) um sistema de coordenadas ortogonal. Uma determinada cônica
é dada, neste sistema, pela seguinte equação:

3 [tex3]x^{2}[/tex3]+2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] xy+[tex3]y^{2}[/tex3]+2x+2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] y=0

(1) Identifique a cônica exibindo sua equação na forma canônica. Explicite as transformações utilizadas (matriz de rotação e/ou equações de translação).
(2)Qual foi o ângulo de rotação utilizado para obter a equação da cônica na forma canônica?

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Conceitos Iniciais

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Toda equação cônica pode ser descrita na forma:

[tex3]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/tex3]


Sabendo que para a rotação da matriz, temos:

[tex3]\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sen\\\sen(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix}[/tex3]


Aplicando isso lá em cima, nós teríamos uma nova equação:

[tex3]A'x'^2+B'x'y'+C'y'^2+D'x'+E'y'+F=0~~~~~~~~~~~~[/tex3] *[tex3]F[/tex3] não muda


Mas isso provavelmente você já sabe. O que vai importar aqui é o valor de [tex3]B[/tex3], fazendo todas as passagens (que eu claramente não irei fazer aqui), temos:

[tex3]B'=(C-A)\sen(2\theta)+B\cos(2\theta)[/tex3]


Para as formas canônicas, esse [tex3]B=0[/tex3], para resolver essa equação, nós vamos realizar uma rotação tal qual [tex3]B'=0[/tex3], logo, chegaremos na canônica.




Rotacionando a Cônica

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Queremos [tex3]B'=0[/tex3], logo vamos zerar o valor

[tex3]B'=(C-A)\sen(2\theta)+B\cos(2\theta)[/tex3]

[tex3]0=(C-A)\sen(2\theta)+B\cos(2\theta)[/tex3]

[tex3](A-C)\sen(2\theta)=B\cos(2\theta)[/tex3]

[tex3]\frac{B}{A-C}=\tg(2\theta)[/tex3]


Esses valores são da fórmula atual, logo:

[tex3]\frac{2\sqrt{3}}{3-1}=\tg(2\theta)[/tex3]

[tex3]\frac{2\sqrt{3}}{2}=\tg(2\theta)[/tex3]

[tex3]\tg(2\theta)=\sqrt3[/tex3]

[tex3]\tg(2\theta)=\tg(60^\circ)[/tex3]

[tex3]\boxed{\theta=30^\circ}[/tex3]


Logo, precisamos rotacionar [tex3]30^\circ[/tex3] para transformar a equação em sua canônica.




Coeficientes da Nova Cônica

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Eu vou sim listar as equações abaixo, mas não vou fazer a conta do início, tomo que já sabe como encontra-las, porem em caso de dúvida, respondo se precisar:

[tex3]A'=A\cos^2(\theta)+B\sen(\theta)\cos(\theta)+C\sen^2(\theta)\\C'=A\sen^2(\theta)-B\sen(\theta)\cos(\theta)+C\cos^2(\theta)\\D'=D\cos(\theta)+E\sen(\theta)\\E'=-D\sen(\theta)+E\cos(\theta)[/tex3]


Adicional:

[tex3]\sen(30^\circ)=\frac{1}{2}~~~~~~~~~~\sen^2(30^\circ)=\frac{1}{4}\\\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}~~~~~~~\cos^2(30^\circ)=\frac{3}{4}[/tex3]


Pulando as contas, teremos:

[tex3]A'=4\\C'=0\\D'=2\sqrt3\\E'=2[/tex3]


Isso resulta numa nova cônica:

[tex3]4x^2+2\sqrt3x+2y=0[/tex3]




Forma Canônica

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Transformando em forma canônica:

[tex3]4x^2+2\sqrt3x+2y=0[/tex3]

[tex3]4x^2+2\sqrt3x{\color{Red}\,\,+\,\,\frac{3}{4}}+2y{\color{Red}\,\,-\,\,\frac{3}{4}}=0[/tex3]

[tex3]{\(2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\)}^2+2y-\frac{3}{4}=0[/tex3]

[tex3]{\(2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\)}^2=-2y+\frac{3}{4}[/tex3]

[tex3]{\[2\(x+\frac{\sqrt{3}}{4}\)\]}^2=-2y+\frac{3}{4}[/tex3]

[tex3]4{\(x+\frac{\sqrt{3}}{4}\)}^2=-2y+\frac{3}{4}[/tex3]

[tex3]{\(x+\frac{\sqrt{3}}{4}\)}^2=-\frac{y}{2}+\frac{3}{16}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{(1)\\{\(2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\)}^2=-\frac{1}{2}\(y-\frac{3}{8}\)}[/tex3]


Essa cônica se trata de uma parábola, reconhecida por:

[tex3](x-x_c)^2=4p(y-y_c)[/tex3]


Respondendo a [tex3](2)[/tex3], a qual já respondida lá em cima:

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{(2)~~\theta=30^\circ}[/tex3]


nota: pessoalmente, eu não sei dizer o sentido da rotação, peco nesse detalhe, recomendo dar uma olhada nisso também.

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Muito obrigado pela ajuda!