Física III ⇒ Malhas Infinitas Tópico resolvido

[theblackmamba]

Essa está quase impossível . Alguma ideia ?

Entre cada par de nós adjacentes há uma resistência [tex3]R[/tex3] e toda a grade de resistores se estendem ao infinito em todas as direções. Determine a resistência equivalente entre dois quaisquer nós adjacentes na rede.

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International Physics Olympiad Book

Resposta

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[tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

up-------------------------

[Auto Excluído (ID:12031)]

A justificativa que eu encontrei é meio carteada, mas vamos lá:

Suponha que seja injetada uma corrente de 1 A em qualquer um dos nós. Como as resistências são as mesmas em todas as direções a corrente irá se dividir em 1/4 A para as quatro direções e se juntariam de novo num raio infinito.
Imagine que você ligue um pólo positivo de uma bateria em um nó e o pólo negativo num anel de raio infinito então a corrente no nó seria de I/4.
agora imagine que você ligue um pólo negativo de uma bateria em um nó adjacente ao primeiro e o pólo positivo num anel de raio infinito então a corrente no trecho que une esse nó com o primeiro seria de I/4 + I/4 = I/2.
De onde a resistência equivalente é [tex3]\frac R2[/tex3].

Peguei daqui

Se a malha fosse hexagonal teríamos [tex3]\frac I6 + \frac I6 = \frac I3 \implies R_{eq} = \frac R3[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

Explicando melhor:

se injetarmos uma corrente [tex3]I[/tex3] em um nó dessa malha, ela se espalhará pelos 4 nós adjacentes com [tex3]\frac I4[/tex3] para cada nó.

Ao ligarmos o pólo positivo de uma bateria em um nó e o pólo negativo num anel de raio infinito obtemos o efeito acima: uma corrente de [tex3]\frac I4[/tex3] nas 4 direções dos nós vizinhos.

Se ligarmos o pólo negativo da mesma bateria em um desses 4 nós vizinhos e o pólo positivo no anel infinito, obtemos o efeito semelhante: aparecerão 4 correntes [tex3]\frac I4[/tex3], mas com sentido contrário ao do experimento acima.

Sobrepondo os efeitos, temos o seguinte:

1c-infinite-mess-grid-of-square-resistances.jpg (37.13 KiB) Exibido 1210 vezes

com a corrente no trecho [tex3]AB[/tex3] sendo [tex3]\frac I4 + \frac I4 = \frac I2[/tex3]

O princípio da sobreposição diz que somando duas soluções do problema, obtemos uma terceira. Se o ponto [tex3]A[/tex3] no início tem um potencial [tex3]V_0[/tex3], então [tex3]B[/tex3] tem [tex3]V_0 - R \cdot \frac I4[/tex3]. No segundo caso, [tex3]B[/tex3] tem [tex3]-V_0[/tex3] e [tex3]A[/tex3] tem [tex3]-V_0 + R\frac{I}4[/tex3]. Na soma, [tex3]A[/tex3] teria [tex3]R \frac{I}4[/tex3] e [tex3]B[/tex3] teria [tex3]-R \frac{I}4[/tex3].

O resistor entre [tex3]AB[/tex3] tem uma resistência de [tex3]R \,\,\ohm[/tex3], logo a ddp entre [tex3]AB[/tex3] é [tex3]\frac{RI}2[/tex3] [tex3]V[/tex3] e a resistência equivalente é então [tex3]\frac R2 \,\, \ohm[/tex3]. Como se houvesse um resistor em paralelo de resistência [tex3]R[/tex3]