Ensino Médio ⇒ UFPR - Equações trigonométricas

[GustavoO]

Determine a soma das raízes de [tex3]\log_{2}(\text{sen}x)-\log_{2}(\cos x+\text{sen}x)=0[/tex3], contidas no intervalo [tex3][-2\pi;\,\,2\pi][/tex3].

Descobri que cosx = 0, logo x = π/2 ou 3π/2 => Soma = 2π, mas no gabarito está que a soma é 0, alguém pode me explicar?

[Daleth]

[tex3]\log_{2}(senx)-\log_{2}(cos x+senx)=0[/tex3]

[tex3]\log_{2}(\frac{senx}{cosx+senx})=0[/tex3]

[tex3]2^0=\frac{senx}{cosx+senx}[/tex3]

[tex3]1=\frac{senx}{cosx+senx}[/tex3]

[tex3]cosx+senx=senx[/tex3]

[tex3]cosx=0[/tex3]

O ponto da questão é o intervalo que ela delimita o domínio: [tex3][-2\pi;2\pi][/tex3]
E isso faz toda a diferença

Sabemos que quando percorremos o círculo trigonométrico no sentido horário, então os valores são negativos, e no sentido anti-horário será positivo

Portanto, no intervalo: [tex3][0;2\pi][/tex3] temos:

[tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3] e [tex3]x=\frac{3\pi}{2}[/tex3]

E para o intervalo: [tex3][0;-2\pi][/tex3] temos:

[tex3]x=-\frac{\pi}{2}[/tex3] e [tex3]x=-\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Ao somar todos os valores, achamos zero como resultado

[PedroLucas]

Contidas no intervalo [tex3][-2\pi;\,\,2\pi][/tex3]. Não são apenas essas duas nesse intervalo!