Física I ⇒ (Olimpíadas Brasileira de Física) - Cinemática

[eltongsilva]

Boa tarde galera. Por favor, poderiam me ajudar nesta questão?

Um avião parte de uma cidade A para outra cidade B, mantendo a velocidade constante igual a 250 km/h. Ao alcançar a metade do caminho é forçado a diminuir a velocidade, mantendo a constante em 200 km/h; consequentemente, chega ao destino com 15 minutos de atraso. Considerando que o tempo de mudança de velocidade é desprezível, qual a distância entre as cidades A e B?

Resposta

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500 km

Livro: Os Fundamentos da Física I - Toledo, Ramalho e Nicolau. Ed. Moderna.

Desde já agradeço.

[Juniorhw]

Chamando de [tex3]d[/tex3] a distância entre as cidades, ele diz que o avião anda [tex3]\frac{d}{2}[/tex3] com velocidade de [tex3]250km/h[/tex3] e anda a outra metade com velocidade de [tex3]200km/h[/tex3]. Se ele não tivesse mudado a velocidade, ele faria um tempo [tex3]t[/tex3], tal que:

[tex3]t=\frac{d}{250}\,\,(I)[/tex3]

Na situação em que ele muda a velocidade, vamos chamar de [tex3]t_1[/tex3] o tempo em que ele anda a [tex3]250km/h[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3] o tempo em que ele anda a [tex3]200km/h[/tex3]. Então:

[tex3]t_1=\frac{\frac{d}{2}}{250}[/tex3]
[tex3]t_2=\frac{\frac{d}{2}}{200}[/tex3]

Somando as duas:

[tex3]t_1+t_2=\frac{\frac{d}{2}}{250}+\frac{\frac{d}{2}}{200}\\\\t_1+t_2=\frac{9d}{2000} \,\,(II)[/tex3]

Ele fala que teve se não tivesse mudado a velocidade, chegaria 15 minutos (0,25h) antes, então:

[tex3]t=(t_1+t_2)-0,25\\\\t_1+t_2=t+0,25[/tex3]

De (I) e (II), temos:

[tex3]\frac{9d}{2000}=\frac{d}{250}+0,25\\\\\frac{d}{2000}=0,25\\\\\boxed{d=500km}[/tex3]

[inguz]

Alguém poderia me explicar melhor essa duas equações do tempo ?? Obg

[LostWalker]

Sobre a Dúvida

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inguz, o que você precisa entender aí é: o avião percorreu metade do trajeto na velocidade [tex3]250\,\mbox{km/h}[/tex3], então dizemos que ele andou [tex3]\frac d2[/tex3]. Depois ele andou [tex3]200\,\mbox{km/h}[/tex3], e percorreu a mesma distância, [tex3]\frac d2[/tex3].

Podemos dizer que o tempo é:

[tex3]\Delta t=\frac{\Delta S}{V}[/tex3]


Aplicando isso para os dois dados e somando, teríamos:

[tex3]t_1+t_2=\frac {\frac d2}{250}+\frac{\frac d2}{200}[/tex3]

[tex3]t_1+t_2=\frac {9d}{2000}[/tex3]


Esse é o tempo que ele demorou. Ocorre que esse tempo está com um atraso de 15 minutos, já que o trajeto todo [tex3]d[/tex3] deveria ser percorrido com velocidade [tex3]250\,\mbox{km/h}[/tex3] a todo momento, logo, ele levaria:

[tex3]t=\frac d{250}[/tex3]


Daqui, você só precisa juntas os dois valores de tempo, dado que você sabe o atraso (convertendo para horas, já que é o sistema que estamos usando):

[tex3]t=t_1+t_2-0.25[/tex3]


Substituindo tudo, só haverá [tex3]d[/tex3] como variável, daí você encontra o valor de [tex3]d[/tex3].




Como Eu Responderia

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Bem, eu faria um pouco diferente. Vamos inicialmente ignorar o fato do avião já ter percorrido metade do trajeto. Pense assim, se o avião seguir, já da metade, com velocidade [tex3]250\,\mbox{km/h}[/tex3] então ele chegaria num tempo [tex3]t[/tex3]. Logo:

nota: nas minhas contas, [tex3]d[/tex3] já se refere a metade do trajeto

[tex3]t=\frac d{250}[/tex3]


Porém, o avião mudou a sua velocidade, e todo o atraso se deve justamente por essa velocidade. Como sabemos que o atraso é de [tex3]15\,\mbox{min}[/tex3], podemos dizer que o tempo total é o tempo esperado para aquele trajeto, [tex3]t[/tex3], mais o atraso, [tex3]15\,\mbox{min}=\frac14\,\mbox{h}[/tex3], logo:

[tex3]t+\frac14=\frac d{200}[/tex3]


Mas já temos o valor de [tex3]t[/tex3], substituindo:

[tex3]\frac d{250}+\frac14=\frac d{200}[/tex3]


[tex3]\frac d{250}\cdot{\color{PineGreen}\frac44}+\frac14\cdot{\color{Purple}\frac{250}{250}}=\frac d{200}\cdot{\color{NavyBlue}\frac55}[/tex3]

nota: isso é para colocar todos os termos no mesmo denominador

[tex3]\frac {4d}{\color{Red}\cancel{\color{Black}1000}}+\frac{250}{\color{Red}\cancel{\color{Black}1000}}=\frac {5d}{\color{Red}\cancel{\color{Black}1000}}[/tex3]

[tex3]4d+250=5d[/tex3]

[tex3]d=250\,\mbox{km}[/tex3]


Como dito antes, [tex3]d[/tex3] se refere à metade do trajeto, logo, o trajeto total corresponde a:

[tex3]\color{MidNIghtBlue}\boxed{2d=500\,\mbox{km}}[/tex3]

[inguz]

Oie @LostWalker ! Desculpa por ter demorado pra te responder, mt obg pela sua resolução, consegui entender melhor.