Ensino Superior ⇒ Integral tripla Tópico resolvido

[Natan]

Cálcule o volume do conjunto abaixo:

[tex3]W = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 \geq 4, \quad x^2 + y^2 + (z-\sqrt{2})^2 \leq 2, \quad z \leq \sqrt{3(x^2 + y^2)} \right\}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]W=\{ (x,\, y,\, z)\, \in\, \Re^3\, |\, x^2+y^2+z^2 \geq 4,\, x^2+y^2+(z-\sqrt{2})^2 \leq 2,\, z ≤ \sqrt{3(x^2+y^2)}\}[/tex3].

Obs.1

[tex3]x^2 + y^2 + z^2 ≥ 4 [/tex3] → Significa que o sólido está fora dessa esfera ( ou ainda, o sólido está acima dessa esfera ou se preferir o sólido está sendo limitado abaixo por essa esfera ).

[tex3]x^2 + y^2 + ( z - \sqrt{2} )^2 ≤ 2[/tex3] → Significa que o sólido está dentro de parte dessa esfera( ou se preferir , o sólido está sendo limitado acima por essa esfera ).

z ≤ [tex3]\sqrt{3x^2 + 3y^2}[/tex3] → A interpretação disso é que o sólido está dentro de parte desse semicone ( ou se preferir , o sólido está sendo limitado "lateralmente" por esse semicone ).



"Graficamente" :

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Usando as fórmulas de conversão de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas, temos:

Para a esfera : x² + y² + z² = 4

x² + y² + z² = 4 → ρ² = 4 → ρ = 2

Para a esfera : x² + y² + ( z - √2 )^2 = 2

x² + y² + z² = 2√(2).z → ρ² = 2√(2).ρ.cos(Φ) → ρ = 2.√(2).cos(Φ).

Para o semicone : z = √( 3x² + 3y² )

ρ.cos(Φ) = √(3).ρ.sen(Φ) → tg(Φ) = (√3)/3 → Φ = π/6.


A variação do ângulo θ é encontrada na projeção de W no plano xy , então 0 ≤ θ ≤ 2π. Logo , W [tex3]_{\rho \phi \theta }[/tex3] é dado por :

[tex3]W_{\rho \phi \theta } : \begin{cases}
2 ≤ \rho ≤ 2\sqrt{2}.cos (\phi ) \\
0 ≤ \phi ≤ \frac{π}{6} \\
0 ≤ \theta ≤ 2π
\end{cases}[/tex3]

Assim,

[tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{} \ dV [/tex3]

[tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{W_{\rho \phi \theta }}^{}\int\limits_{}^{}\rho ^2.sen(\phi ) \ d\rho d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}\int\limits_{2}^{2\sqrt{2}.cos (\phi )}\rho ^2.sen(\phi ) \ d\rho d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}[\frac{\rho^3 }{3}]_{2}^{2\sqrt{2}.cos (\phi )}.sen(\phi ) \ d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}[8\sqrt{8}.cos^3 (\phi ) - 8].sen(\phi ) \ d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V = \frac{8}{3}.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}[2.\sqrt{2}.cos^3 (\phi ).sen (\phi ) - sen(\phi ) ] \ d\phi d\theta [/tex3]

Obs.2 Para resolver a integral [tex3]\int\limits_{}^{}cos^3(\phi ).sen (\phi ) \ d\phi [/tex3] , utilize a substituição u = cos ([tex3]\phi [/tex3] )

Resulta,

[tex3]V = \frac{8}{3}.\int\limits_{0}^{2π}[- \sqrt{2}.\frac{cos^4 (\phi )}{2} + cos (\phi ) ]_0^{\frac{π}{6}} \ d\theta [/tex3]

Desenvolvendo, obtemos:

[tex3]V = \frac{1}{12}.\int\limits_{0}^{2π}[7\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - 32] \ d\theta [/tex3]

[tex3]V = \frac{16\sqrt{3} + 7\sqrt{2} - 32}{12} \ .[\theta ]_0^{2π}[/tex3]

[tex3]V = \frac{2π}{12}.(16\sqrt{3} + 7\sqrt{2} - 32)[/tex3]

Portanto,

[tex3]V = \frac{π}{6}.(16\sqrt{3} + 7\sqrt{2} - 32) \ u.v.[/tex3].


Obs.3
[tex3]\begin{cases}
x = \rho .sen (\phi ).cos (\theta ) \\
y = \rho .sen (\phi ).sen (\theta ) \\
z = \rho .cos (\phi ) \\
dV = dxdydz = \rho^2.sen(\phi )d\rho d\phi d\theta \\
x^2 + y^2 + z^2 = \rho ^2
\end{cases}[/tex3]




Excelente estudo!