Ensino Superior ⇒ Determine se cada integral é convergente ou divergente Tópico resolvido

[VitorLeonam]

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
A)[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }[/tex3] [tex3]xe^{-x^{2}}[/tex3] dx B)[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty }dx[/tex3] [tex3]sin^{2} \alpha [/tex3] [tex3]d\alpha [/tex3] C) [tex3]\int\limits_{1}^{+\infty }[/tex3] [tex3]\frac{1}{x^{2}+x}[/tex3] dx D) [tex3]\int\limits_{-\infty }^{0} ze^{2z}[/tex3] dz E)[tex3]\int\limits_{0}^{9}[/tex3] [tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}[/tex3] dx F)[tex3]\int\limits_{0}^{3} \frac{dx}{x^{2}-6x+5}[/tex3]

[Cardoso1979]

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
A)[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }xe^{-x^{2}} \ dx.[/tex3]

.

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }xe^{-x^{2}}\ dx = \int\limits_{-∞}^{0}xe^{-x^2}dx \ + \ \int\limits_{0}^{+∞}xe^{-x^2}dx [/tex3].

[tex3]\int\limits_{-∞}^{0}xe^{-x^2}dx = \lim_{t \rightarrow - \infty} \left(- \frac{1}{2}\right).\left[e^{-x^2}\right]_t^0 = \lim_{t \rightarrow - \infty} \left[\left( - \frac{1}{2}\right).(1 - e^{-t^2} ) \right] = - \frac{1}{2}.1 = - \frac{1}{2}[/tex3]

e

[tex3]\int\limits_{0}^{+∞}xe^{-x^2}dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \left(- \frac{1}{2}\right).\left[e^{-x^2}\right]_0^t = \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[\left( - \frac{1}{2}\right).( e^{-t^2} - 1 ) \right] = - \frac{1}{2}.( - 1) = \frac{1}{2}[/tex3].

Portanto, [tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }xe^{-x^{2}} \ dx = - \frac{1}{2} \ + \ \frac{1}{2} =
0[/tex3]. Convergente.


Excelente estudo!