Ensino Superior ⇒ [Geometria Analítica] Produto Vetorial / Produto Misto (?) Tópico resolvido

[luckbrav]

a. Dados os vetores [tex3]\vec{u}[/tex3], [tex3]\vec{v}[/tex3], [tex3]\vec{w}[/tex3] e [tex3]\vec{t}[/tex3] tais que [tex3]\vec{u}[/tex3]×[tex3]\vec{v} = \vec{w}[/tex3]×[tex3]\vec{t}[/tex3] e [tex3]\vec{u}[/tex3]×[tex3]\vec{w} = \vec{v}[/tex3]×[tex3]\vec{t}[/tex3], prove que [tex3]\vec{u}[/tex3]−[tex3]\vec{t}[/tex3] e [tex3]\vec{v}[/tex3]−[tex3]\vec{w}[/tex3] são vetores LD.

b. Considere um triângulo ABC. Sabemos que sua área é dada por [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] *||AB||×||AC||. Podemos também obter sua área fazendo [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] *||AB||×||AC||? Justifique usando as propriedades do produto vetorial.

[Cardoso1979]

Observe

a. Dados os vetores [tex3]\vec{u}[/tex3], [tex3]\vec{v}[/tex3], [tex3]\vec{w}[/tex3] e [tex3]\vec{t}[/tex3] tais que [tex3]\vec{u}[/tex3]×[tex3]\vec{v} = \vec{w}[/tex3]×[tex3]\vec{t}[/tex3] e [tex3]\vec{u}[/tex3]×[tex3]\vec{w} = \vec{v}[/tex3]×[tex3]\vec{t}[/tex3], prove que [tex3]\vec{u}[/tex3]−[tex3]\vec{t}[/tex3] e [tex3]\vec{v}[/tex3]−[tex3]\vec{w}[/tex3] são vetores LD.

Uma prova:

Primeiramente , para sabermos se dois vetores são L.D , basta usarmos a seguinte relação

[tex3]( \vec{x} , \vec{y} ) \ LD ⇔ \vec{x} ×\vec{y} = \vec{0} [/tex3] ( outra maneira de representar é:
[tex3]( \vec{x} , \vec{y} ) \ LD ⇔ \vec{x} \wedge \vec{y} = \vec{0} [/tex3] ). Ou [tex3]\vec{x} × \vec{y} = \vec{0} ⇔ ( \vec{x} , \vec{y} ) \ é \ LD [/tex3].

Assim, vamos efetuar o produto vetorial entre [tex3]\vec{x} = \vec{u} - \vec{t}[/tex3] e [tex3]\vec{y} = \vec{v} - \vec{w}[/tex3] , então

[tex3]\vec{x} × \vec{y} = ( \vec{u} - \vec{t} ) × ( \vec{v} - \vec{w} ) [/tex3].

Efetuando a distributiva , fica;

[tex3]\vec{x} × \vec{y} = \vec{u} × \vec{v} -
\vec{u} × \vec{w} - \vec{t} × \vec{v} + \vec{t} × \vec{w}[/tex3].

Do enunciado, sabemos que [tex3]\vec{u} × \vec{v} = \vec{w} × \vec{t} [/tex3] e [tex3]\vec{u} × \vec{w} = \vec{v} × \vec{t} [/tex3] , segue que

[tex3]\vec{x} × \vec{y} = \vec{w} × \vec{t} +
\vec{t} × \vec{w} - \vec{u} × \vec{w} - \vec{t} × \vec{v}[/tex3].

Mas , [tex3]\vec{w} × \vec{t} = - \vec{t} × \vec{w} [/tex3] e [tex3]- \vec{t} × \vec{v} = \vec{v} × \vec{t} [/tex3] , vem;

[tex3]\vec{x} × \vec{y} = - \vec{t} × \vec{w} +
\vec{t} × \vec{w} - \vec{v} × \vec{t} + \vec{v} × \vec{t} = \vec{0}[/tex3].

Provamos assim que [tex3]\vec{x}[/tex3] e [tex3]\vec{y}[/tex3] são linearmente dependente , ou seja , [tex3]\vec{u} - \vec{t}[/tex3] e [tex3]\vec{v} - \vec{w}[/tex3] são L.D. , exatamente o que o autor do exércicio pediu. C.q.p.




Excelente estudo!