Ensino Superior ⇒ Método de Gauss-Jordan

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Resolver os sistemas:
1)
x-y+2z-w=-1
2x+y-2z-w=-2
-x+2y-4z+w=1
3x-3w=-3


2)
v+3w-2x=0
2u+v-4w+3x=0
2u+3v+2w-x=0
-4u-3v+5w-4x=0


Respostas
1) S={(w-1,2z,z,w)/z,w E IR}

2) S={(7s-5t,-6s+4t,2s,2t)/s,t E IR}

[Cardoso1979]

Observe

Resolver o sistema:
1)
x-y+2z-w=-1
2x+y-2z-w=-2
-x+2y-4z+w=1
3x-3w=-3

Resposta
1) S={(w-1,2z,z,w)/z,w E IR}

Solução:

{ x - y + 2z - w = - 1 →L1
{ 2x + y - 2z - w = - 2 → L2
{ - x + 2y - 4z + w = 1 → L3
{ 3x + 0y + 0z - 3w = - 3 → L4


Temos a seguinte matriz aumentada :

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& - 1 && 2 && - 1| && - 1 \\
2 &&& 1 && - 2 && - 1 | && - 2 \\
-1 &&& 2 && -4 && 1| && 1\\
3 &&& 0 && 0 && - 3| && - 3\\
\end{array} \right] [/tex3]

Façamos as seguintes operações( obviamente que a linha 1 permanece inalterada ) :

- 2L1 + L2.

L1 + L3.

- 3L1 + L4.

Obtemos a seguinte matriz

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& - 1 && 2 && - 1| && - 1 \\
0 &&& 3 && - 4 && 1 | && 0 \\
0 &&& 1 && -2 && 0| && 0\\
0 &&& 3 && -6 && 0| && 0\\
\end{array} \right] [/tex3]


Agora façamos ( L1 e L2 permanecem inalteradas ):

- 3L3 + L2.

- L2 + L4.

Resulta;

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& - 1 && 2 && - 1| && - 1 \\
0 &&& 3 && - 4 && 1 | && 0 \\
0 &&& 0 && 2 && 1| && 0\\
0 &&& 0 && -2 && -1| && 0\\
\end{array} \right] [/tex3]


Efetuamos a seguinte operação ( L1 , L2 e L3 permanecem inalteradas ):

L3 + L4


Obtemos

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& - 1 && 2 && - 1| && - 1 \\
0 &&& 3 && - 4 && 1 | && 0 \\
0 &&& 0 && 2 && 1| && 0\\
0 &&& 0 && 0 && 0| && 0\\
\end{array} \right] [/tex3]


Faça agora (1/3).L2 + L1 , resulta;

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && \frac{2}{3} && - \frac{2}{3}| && - 1 \\
0 &&& 3 && - 4 && 1 | && 0 \\
0 &&& 0 && 2 && 1| && 0\\
0 &&& 0 && 0 && 0| && 0\\
\end{array} \right] [/tex3]

Procedemos agora,

- ( 1/3 ).L3 + L1.

2L3 + L2.

Encontramos

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 &&& 0 && - 1| && - 1 \\
0 &&& 3 &&& 0 && 3 | && 0 \\
0 &&& 0 &&& 2 && 1| && 0\\
0 &&& 0 &&& 0 && 0| && 0\\
\end{array} \right] [/tex3]


Finalmente , façamos;


( L2 )/3.

( L3 )/2.

E obtemos assim

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 &&& 0 && - 1| && - 1 \\
0 &&& 1 &&& 0 && 1 | && 0 \\
0 &&& 0 &&& 1 && \frac{1}{2}| && 0\\
0 &&& 0 &&& 0 && 0| && 0\\
\end{array} \right] [/tex3].

Daí, extraímos que

z + ( w/2 ) = 0 → 2z = - w ( I )

y + w = 0 → y = - w ( I I )

x - w = - 1 → x = w - 1.

Substituindo ( I I ) em ( I ) , resulta ;

y = 2z

Portanto, S = { ( w - 1 , 2z , z , w ) / z , w ∈ IR }.



Excelente estudo!