IME / ITA ⇒ (AFA 2004) Binômio de Newton

[brunoafa]

Sabendo-se que no desenvolvimento de [tex3](1+x)^{26}[/tex3] os coeficientes de termos ordem (2r+1) e (r+3) são iguais, pode-se afirmar que r é igual a

GAB

2 ou 8

Na resolução o cara fez que


[tex3]T_{(2r+1)}=\begin{pmatrix}
26 \\ 2r
\end{pmatrix} \\ \\ \\ T_{(r+3)}= \begin{pmatrix}

26 \\ r+2 \end{pmatrix}[/tex3]

E ai montou um sistema de equações, ou os termos são iguais ou a soma deles dá 26.

Ok, só não entendi da onde saiu essa expressão já que a fórmula geral de [tex3](x+a)^n[/tex3] é

[tex3]T_{(p+1)}= \sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p}\cdot a^{p} \cdot x^{n-p}[/tex3].

[LostWalker]

Há uma diferença em dizer Termo e Coeficiente. Indo para um exemplo mais simples:

[tex3](a+b)^3=a^3+{\color{PineGreen}3a^2b}+3ab^2+b^2[/tex3]


O termo destacado é o segundo termo do desenvolvimento, mas o seu coeficiente é 2. Se você olhar como a equação de Binômio é formada, pode ser dividida de 3 partes:

[tex3](a+b)^n={\color{PineGreen}\sum_{p=0}^{n}}{\color{Purple}{n\choose p}}\cdot {\color{NavyBlue}a^{p} \cdot x^{n-p}}[/tex3]


A primeira parte, o somatória, serve para comprimir os termos numa equação só, a segunda parte define o coeficiente do termo (É disso que estamos atrás), a terceira é sobre o grau dos valores.


Aqui vem a resolução do enunciado, segundo a propriedade de combinação:

[tex3]{n\choose i}={n\choose n-i}[/tex3]


Sabendo que o enunciado diz que dois coeficientes são iguais, certamente respeitam essa propriedade, sendo diametralmente opostos, logo:


[tex3]T_{(2r+1)}={26\choose 2r}\\T_{(r+3)}={26\choose r+2}[/tex3]


Sendo essa dúvida, eu vou pular uma certa explicação, mas considerando a propriedade que eu usei lá em cima, só tem duas possibilidades:

[tex3]2r=26-(r+2)\\3r=24\\\boxed{r=8}[/tex3]


Certo, agora, de onde vem o resultado [tex3]2[/tex3]? Eu não gosto muito dele. Da se a entender que ele fala de dois termos diferentes, mas para achar o [tex3]2[/tex3], você precisa considerar que entre as possibilidade está falar que as duas se referem a um mesmo termo, ou seja:

[tex3]2r=r+2\\\boxed{r=2}[/tex3]


Não acho que essa interpretação faça sentido, mas tem base nas contas.