Ensino Superior ⇒ Pré-cálculo - Funções pares e ímpares - Produto Tópico resolvido

[anne456]

Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa.
1. Se f : R → R é par e g : R → R é ímpar, então f · g é par.
2. Se f : R → R é par e g : R → R é ímpar, então f · g é ímpar.
3. Se f : R → R é ímpar e g : R → R é ímpar, então f · g é par.

Olá, pessoal. Alguém pode me orientar com esse tipo de questão?
Existe algum livro que posso me aprofundar em tópicos de soma/subtração/produto/divisão de funções ímpar e pares?
E claro, ficaria extremamente grata se alguém pudesse me ajudar com a resolução, não entendi com o gabarito.

Resposta

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1. Falsa. Tome f(x) = 1 e g(x) = x^3, então o produto f(x) · g(x) = x^3, ∀x ∈ R, não sendo par.
2. Verdadeira. De fato, (f · g)(−x) = f(−x) · g(−x) = f(x)(−g(x)) = −f(x) · g(x) = −(f · g)(x), ∀x ∈ R,
pois f é par e g é ímpar.
3. Verdadeira. (f · g)(−x) = f(−x) · g(−x) = (−f(x)) · (−g(x)) = f(x) · g(x) = (f · g)(x), ∀x ∈ R, pois f e
g são ímpares.

[petrasMOD]

anne456,

O que você preisa saber é o conceito:
Função par: elementos simétricos pertencentes ao conjunto domínio da função, estão associados, através de f, a mesma imagem.
Isto é: f(x) = f(-x)
Ex: [tex3]f(x) = x^2\implies f(2) =2^2 = 4~e~f(-2) = (-2)^2=4[/tex3]

Função ímpar: elementos simétricos pertencentes ao conjunto do domínio, associados através de f, a imagens simétricas
Isto é: f(x) = -f(-x)
Ex: [tex3]f(x) = x^3\implies f(2) =2^3 = 8~e~-f(-2) = -(-2)^3=8 [/tex3]

Usando esses conceitos e algebrismo básico ..

sendo f(par) e g(ímpar) ele quer f . g
Vamos utilizar uma variável qualquer por exemplo (x) para ser diferente da solução fornecida

1e2)
[tex3](f.g)(x) = \underbrace{f(x)}_{par}.\underbrace{g(x)}_{ímpar}={\color{red}f(-x)}.{\color{blue}-g(-x)}=-(f.g)(-x)\\
\therefore (f.g)(x)=-(f.g)(-x)\implies \text{função ímpar} [/tex3]
3)
[tex3](f.g)(x) = \underbrace{f(x)}_{ímpar}.\underbrace{g(x)}_{ímpar}={\color{blue}-f(-x)}.{\color{blue}-g(-x)}=f(x).g(x)=(f.g)(-x)\\
\therefore (f.g)(x)=(f.g)(-x)\implies \text{função par}[/tex3]