Olimpíadas ⇒ (OBM) Dominó Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O dominó mais conhecido tem como maior peça o duplo [tex3]6[/tex3]. Neste dominó são empregadas [tex3]28[/tex3] peças diferentes. Quantas peças tem o dominó cuja maior peça é o duplo [tex3]8[/tex3]?

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A)[tex3]34[/tex3].
B) [tex3]36[/tex3].
C)[tex3]42[/tex3].
D) [tex3]55[/tex3].
E)[tex3]45[/tex3].

[paulo testoniMOD]

Hola.

No dominó normal (com 28 peças) cada peça tem um par de números que podem ser distintos, ou podem ser iguais (duplas). A ordem com que os números aparecem em cada peça não faz diferença. Pela análise combinatória, a quantidade de peças com números diferentes é o número de combinações de [tex3]7\, (0,1,2,3,4,5,6)[/tex3] elementos escolhidos [tex3]2\,a\, 2[/tex3], ou seja, é:

[tex3]C_7^{2}= \frac{7*6}{ 2!} = 21[/tex3] peças.

As peças com números iguais (duplas) são: [tex3](0 , 0) ; (1 , 1) ; (2 , 2) ; ... ; (7 , 7)[/tex3]. Portanto, existem [tex3]7[/tex3] peças com duplas.

Assim, o número total de peças neste dominó é [tex3]21 + 7 = 28[/tex3] peças.

Fazendo o mesmo procedimento para um dominó com 8 peças, encontramos:

[tex3]C_9^{2}= \frac{9*8}{ 2!} = 36[/tex3] peças. Como temos [tex3]9[/tex3] duplas, então:
o número total de peças neste dominó é [tex3]36 + 9 = 45[/tex3] peças. Letra E.