Ensino Médio ⇒ Função Par e Ímpar

[estudante420]

Verifique se cada função real a seguir é par ou ímpar.
a) f : R -> R tal que f(x) = sen x

b) f : R -> R tal que f(x) = cos x · ( x²+ 2)

c) f : R -> R tal que f(x) = 3x³ + 3x + tg x

Resposta

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a) ímpar, b) par, c) ímpar

[LostWalker]

Defnições

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Segue as definições de:

[tex3]\begin{matrix}\mbox{Função Par: }&f(x)=f(-x)\\\mbox{Função Ímpar: }&f(x)=-f(-x)\end{matrix}[/tex3]


Basta então substituir o valor de [tex3]f(-x)[/tex3] e analisar o resultado. Caso você tenha dificuldade sobre visualizar o círculo trigonométrico, pode perguntar, qualquer ideia de sinal de funções trigonométricas da para saber em uns 5 segundos.




Questão a) - Ímpar

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[tex3]f(-x)=\sen(-x)=-\sen(x)\\\sen(x)=-\sen(-x)\\\boxed{f(x)=-f(-x)}[/tex3]


É bom saber visualizar isso do círculo trigonométrico (que é muito fácil), mas caso não saiba, pode denotar isso também dos cálculos:

[tex3]\sen(\theta)=\sen(\pi-\theta)\\\sen(-x)=\sen(\pi+x)[/tex3]

[tex3]\sen(\pi+x)={\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen(\pi)^{\color{Red}0}\cos(x)}}+\sen(x)\cos(\pi)\\\sen(\pi+x)=-\sen(x)\\\sen(-x)=-\sen(x)[/tex3]

nota: novamente, é muito mais fácil só visualizar isso no círculo trigonométrico, apenas deixei esse de exemplo.




Questão b) - Par

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[tex3]f(-x)=\cos(-x)\cdot\[(-x)^2+2\][/tex3]


Como [tex3]\cos(-x)=\cos(x)[/tex3] e [tex3](-x)^2=x^2[/tex3], logo:

[tex3]f(-x)=\cos(x)\cdot\(x^2+2\)\\f(-x)=f(x)\\\boxed{f(x)=f(-x)}[/tex3]




Questão c) - Ímpar

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[tex3]f(-x)=3(-x)^3 + 3(-x) + \tg(-x)[/tex3]


Aqui, consideramos que [tex3]\tg(-x)=-\tg(x)[/tex3]:

[tex3]f(-x)=3(-x)^3 + 3(-x) + \tg(-x)\\f(-x)=-3x^3-3x-\tg(x)\\f(-x)=-\[3x^3+3x+\tg(x)\]\\f(-x)=-f(x)\\\boxed{f(x)=-f(x)}[/tex3]