Ensino Médio ⇒ Sistema de Equações Não-Lineares Tópico resolvido

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Resolver o sistema:

[tex3]x^{2} + xy + y^{2} = 4[/tex3]
[tex3]x + xy + y = 2[/tex3]

[Alexandre_SC]

equação 2

x+xy+y=2
x+y*(x+1)=2
x=2-y*(x+1)
2-x=y*(x+1)
(2-x)/(x+1)=y

na equação 1
x²+xy+y²=4

[tex3]\frac{2-x}{x+1}*\frac{x+(2-x)}{x+1}[/tex3]+x²=4

[tex3]\frac{(2-x)*({x+(2-x))}}{x^2+2x+1}[/tex3]+x²=4

[tex3]\frac{(2-x)*({2x-x^2))}}{x^2+2x+1}[/tex3]+x²=4

[tex3]\frac{4x-2x^2-2x^2-x^3}{x^2+2x+1}[/tex3]+x²=4

[tex3]\frac{4x-4x^2-x^3}{x^2+2x+1}[/tex3]+x²=4
não tenho muita certeza nessa passagem mas acho que é

-x -6x²+3x+x²=4

2x+5x²=4

5x²=8x

5x=8

x=1.6

voltando à equação 2


(2-x)/(x+1)=y

(0.4)/(2.6)=y

y = 2/13

[splinter.br]

Obrigado!

[Alexandre_SC]

MAS EU NEM SEI SE ESTÁ CERTO!!!

de qualquer forma a gente está aí para TENTAR ajudar!

[marco_sx]

Então Alexandre, infelizmente acho que sua solução está errada. Quando vc substituiu o y na equação 1 vc cometeu um pequeno erro, acredito que por distração. De qualquer forma vou deixar uma dica que costuma simplificar sistemas desse tipo.

Vamos fazer x.y=a e x+y=b.

(x+y)^2=b² => x²+y²=b²-2a

Agora, substituímos nas equações:

b² - a = 4
a + b = 2

Resolvam o sistema acima e depois achem x e y.

Vai dar 4 soluções.

[Alexandre_SC]

essa eu não conhecia... mas nem precisava, um cérebro ideal me faria pensar nisso!


b² - a = 4
a + b = 2

a=2-b

b²-2+b=4
b²+b=6

b= 2 ou b =-3

a=2-b

a=0 ou a = 5

isso é demais agora eu posso montar duas equaçóes de segundo grau onde uma das raízes é x e a outra é y

q²-2q=0
q'=2 q''=0

e p²+3p+5=0
[tex3]\Delta = 9-20=-11[/tex3]
p=[tex3]\frac{3\pm\sqrt{11}i}{2}[/tex3]

solução = {(2, 0);(0, 2);(1.5+[tex3]\frac{\sqrt{11}}{2}[/tex3] i, 1.5-[tex3]\frac{\sqrt{11}}{2}[/tex3] i);(1.5-[tex3]\frac{\sqrt{11}}{2}[/tex3] i, 1.5+[tex3]\frac{\sqrt{11}}{2}[/tex3] i)}

[marco_sx]

É esse mesmo o resultado.
Então Alexandre, esse tipo de mudança de variável se percebe com o tempo, com a experiência. Conheço umas questões bem difíceis envolvendo esse tipo de solução. Qualquer dia eu coloco umas na parte de Desafios hehehe