Ensino Superior ⇒ Funções de várias variáveis Tópico resolvido

[Queituron]

Alguém pode me ajudar por favor?

Calcule [tex3]n \in \mathbb{R}[/tex3], de modo que a função [tex3]z=y^{n}\cdot e^{-\frac{x^2}{4y}}[/tex3] satisfaça a equação [tex3]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot \frac{\partial z}{\partial x}\right)[/tex3].

Resposta

---

[tex3]n=-\frac{3}{2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Oba! Mais uma questão com gabarito!

Uma solução:

Temos z = y [tex3]^{n}.e^{-\frac{x^2}{4y}}[/tex3] e [tex3]\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2}.\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\frac{\partial z}{\partial x}\right)[/tex3] , então

Obs.1 Agora a partir daqui muita atenção no que eu irei fazer!!!!!!!

[tex3]n.y ^{n-1}.e^{ - \frac{x^2}{4y}} + \left(-\frac{x^2}{4y}\right)'.y^n.e^{-\frac{x^2}{4y}} = \frac{1}{x^2}.\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\frac{\partial z}{\partial x}\right)[/tex3]

[tex3]n.y ^{n-1}.e^{ - \frac{x^2}{4y}} + \frac{x^2}{4y^2}.y^n.e^{-\frac{x^2}{4y}} = \frac{1}{x^2}.\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2.y^n.\left(-\frac{x^2}{4y}\right)'.e^{- \frac{x^2}{4y}}\right)[/tex3]

[tex3]n.y ^{n-1}.e^{ - \frac{x^2}{4y}} + \frac{x^2}{4}.y^{n - 2}.e^{-\frac{x^2}{4y}} = \frac{1}{x^2}.\frac{\partial }{\partial x}\left(- \frac{1}{2}.x^3.y^{n-1}.e^{- \frac{x^2}{4y}}\right)[/tex3]

[tex3]n.y ^{n-1}.e^{ - \frac{x^2}{4y}} + \frac{x^2}{4}.y^{n - 2}.e^{-\frac{x^2}{4y}} = \frac{1}{x^2}.\left(- \frac{3}{2}.x^2.y^{n-1}.e^{- \frac{x^2}{4y}} - \frac{x^3}{2}.y^{n-1}.\left(- \frac{x^2}{4y}\right)'.e^{- \frac{x^2}{4y}}\right)[/tex3]

[tex3]n.y ^{n-1}.e^{ - \frac{x^2}{4y}} + \frac{x^2}{4}.y^{n - 2}.e^{-\frac{x^2}{4y}} = - \frac{3}{2}.y^{n-1}.e^{- \frac{x^2}{4y}} + \frac{x^2}{4}.y^{n-2}.e^{- \frac{x^2}{4y}}[/tex3]


Obs.2 Para quem não compreendeu o procedimento feito acima , retorne ao início da solução e lembre-se da regra do produto e da regra da cadeia e ainda assim se não compreendeu, lamento bastante!



Agora basta comparar os termos correspondentes e igualar "os seus respectivos coeficientes correspondentes" , logo,

n = - 3/2.


Excelente estudo!