Física III ⇒ Casca Esférica Tópico resolvido

[mandycorrea]

No interior de uma esfera metálica oca, isolada, de raio interno de 60 cm e externo de 80 cm e eletrizada com carga Q = + 8 μC, é colocada, concentricamente com ela, outra esfera condutora, de 20 cm de raio, eletrizada com carga q = – 4μC. Atingido o equilíbrio eletrostático, determine:

A) a intensidade do campo elétrico num ponto A distante 40 cm do centro das esferas;
B) a intensidade do campo elétrico num ponto B distante 70 cm do centro das esferas;
C) a intensidade do campo elétrico num ponto C distante 100 cm do centro das esferas.

Dado: constante eletrostática do meio:[tex3]K = 1,0 · 10^{10} N m^2 C^{–2}[/tex3]

Resposta

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a)[tex3]2,5.10^5[/tex3] N/C
b)0
c)[tex3]4.10^4 [/tex3] N/C

[Jardani]

Quando a carga [tex3]q[/tex3] for colocada concêntrica a esfera de carga [tex3]Q[/tex3] ocorrerá uma indução total, com as cargas distribuídas assim:

Esfera.PNG (40.54 KiB) Exibido 3975 vezes

O processo para se resolver a letra a, b e c será o mesmo, iremos usar a fórmula de fluxo segundo Gauss, e pela definição:

Pela definição:

[tex3]d\phi=E.dA[/tex3]

Por Gauss:

[tex3]\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}[/tex3]

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Em todas as alternativas passaremos uma gaussiana esférica concêntrica as demais e com o ponto dado em sua superfície, ou seja, o raio dessa gaussiana será a distância a esse ponto pedido.

a)Já com a gaussiana, temos:

Por Gauss(1):
[tex3]\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}\\\\
\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\cancel{\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}
}^{0}\Rightarrow \phi=\frac{-q}{\varepsilon}[/tex3] , na gaussiana desenhada não há cargas na superfície.

Pela definição(2):
[tex3]d\phi=E.dA\Rightarrow \phi=E.4\pi.d_{A}^{2}[/tex3]

(1) = (2)

[tex3]E.4\pi.d_{A}^{2}=\frac{-q}{\varepsilon}\\\\
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon}.\frac{-q}{d_{A}^{2}} \Longrightarrow \boxed{E_{A}=K.\frac{-q}{d_{A}^{2}}}[/tex3]

[tex3]E_{A}=K.\frac{-q}{d_{A}^{2}}=10^{10}.\frac{4.10^{-6}}{(0,4)^{2}}\\\\
\boxed{E_{A}=2,5.10^{5}N/C}[/tex3]

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b)

Por Gauss(1):
[tex3]\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}\\\\
\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\cancel{\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}}\Longrightarrow \phi=\frac{+q-q}{\varepsilon}=0\Longrightarrow \boxed{E_{B}=0}
[/tex3]

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c)

Por Gauss(1):
[tex3]\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}\\\\
\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\cancel{\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}}\Longrightarrow \phi=\frac{+Q-q+q-q}{\varepsilon}=\frac{Q-q}{\varepsilon}[/tex3]

Pela definição(2):
[tex3]d\phi=E.dA\Rightarrow \phi=E.4\pi.d_{C}^{2}[/tex3]

(1) em (2):

[tex3]E.4\pi.d_{C}^{2}=\frac{Q-q}{\varepsilon}\\\\
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon}.\frac{Q-q}{d_{C}^{2}} \Longrightarrow \boxed{E_{C}=K.\frac{Q-q}{d_{C}^{2}}}[/tex3]

[tex3]E_{C}=K.\frac{Q-q}{d_{A}^{2}}=10^{10}.4.10^{-6}\\\\
\boxed{E_{C}=4.10^{4}N/C}[/tex3]


Qualquer dúvida na resolução delas pode comentar, abraço!

[mandycorrea]

Obrigada, Jardani!! Entendi o campo elétrico nos pontos A e a C, mas não entendi no ponto B.

Também não entendi a fórmula [tex3]\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}[/tex3].

A superfície interna é +q para que a parte oca não tenha carga?

E por que a superfície da esfera maior tem carga +Q-q?

Agradeço mais uma vez a explicação.

[Jardani]

Gaussiana.PNG (44.51 KiB) Exibido 3956 vezes

[tex3]\phi=\frac{\sum_{}^{}Q_{int}}{\varepsilon}+\frac{\sum_{}^{}Q_{sup}}{2\varepsilon}[/tex3]

Esta é a formula de Gauss para o fluxo, o fluxo que passa pela gaussiana que você define. Para a questão por conveniência escolhi a representada na imagem.

[tex3]\sum_{}^{}Q_{int}[/tex3] é a soma das cargas internas à gaussiana
[tex3]\sum_{}^{}Q_{sup}[/tex3] é a soma das cargas superficiais à gaussiana

Perceba que a soma das cargas internas à gaussiana que passa pelo ponto B é igual a zero (+q e -q). Portanto, o fluxo é igual a zero e consequentemente o campo é igual a zero.

A carga +q na superfície interna da esfera maior é consequência da indução total da carga -q, como "migraram" +q para a superfície interna a parte externa ficará "carente" de q.A carga total da esfera maior continua Q, só foi redistribuída.

[mandycorrea]

Jardani, obrigada mais uma vez!

Tenho mais algumas perguntas que ficaria muito grata se vc me soubesse me responder:

1)O campo elétrico na casca esférica é sempre nulo? Ou depende da configuração entre as esferas?

2)Por que a parte da [tex3]Q_{sup}[/tex3] é dividido por 2?

3)Tem algum lugar que você me indicaria para estudar isso melhor?

[Jardani]

1) Sim, quando falamos de esferas condutoras, o campo na casca sempre será zero.

2)Vem da definição de fluxo.

Mas antes preciso definir ângulo sólido([tex3]\Omega[/tex3]):

[tex3]\Omega=\frac{Área}{R^{2}}[/tex3], ou seja, [tex3]\Omega[/tex3] "enxerga" um fração [tex3]\frac{Área}{4\pi R^{2}}[/tex3] de todo o espaço.

[tex3]d\phi=\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dA}\Longrightarrow d\phi=E.dA.\cos\theta\\\\
dA.\cos\theta=dA_{Efetiva}\Longrightarrow d\phi=E.dA_{Efetiva}\\\\
d\phi=\frac{KQ}{d^{2}}.dA_{Efetiva}\Longrightarrow \boxed{d\phi=KQ.d\Omega
}[/tex3]

Então agora imagine duas situações, uma com uma carga contida em uma esfera(Na superfície) e outra interna.

Contida:

[tex3]d\phi=KQ.d\Omega\Longrightarrow \phi=KQ.2\pi[/tex3]
[tex3]2\pi[/tex3] é o ângulo para que a carga "enxergue" toda a esfera.

Interna:

[tex3]d\phi=KQ.d\Omega\Longrightarrow \phi=KQ.4\pi[/tex3]
[tex3]4\pi[/tex3] é o ângulo para que a carga "enxergue" toda a esfera.

Perceba que o fluxo superficial é a metade do interno, por isso aparece a divisão por 2

3)Um bom lugar efetivamente não conheço, aprendi esse assunto com materiais para turma ITA/IME.

[mandycorrea]

Jardani, muito obrigada pela paciência! Você tirou todas as minhas dúvidas sobre o assunto