Ensino Superior ⇒ Derivada/ máximo e minimo Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

r é uma reta que passa pelo ponto (1,2) e intercepta os eixos nos pontos A (a,0) é B (0,b) , com a>0 e b>0 . Determine r de modo que a distância de A a B Seja a menor possível.

Resposta

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y-2=-[tex3]\sqrt[3]{2}(x-2)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Oba, mais uma questão com gabarito, porém equivocado , provavelmente o colega confundiu ao invés de digitar o um(1) digitou o dois( 2 ) , acontece.

Uma solução:

Seja r a equação da reta com a seguinte característica y = p.x + q , como a reta r passa pelos três pontos dados no enunciado, então

Ponto B( 0 , b ) :

b = p.0 + q → q = b.


Ponto A( a , 0 ) :

0 = p.a + b → p = - b/a.


Ponto ( 1 , 2 ) :

2 = ( - b/a ).1 + b → b = 2a/( a - 1 ).


Como queremos minimizar a distância de A a B, então vamos escrever a fórmula da distância entre dois pontos para A( a , 0 ) e B( 0 , b ), temos

dAB = √[ ( 0 - a )^2 + ( b - 0 )^2 ]

dAB = √( a² + b² )


Como já encontramos b em função de a , vem;

dAB = √{ a² + [ 2a/( a - 1 ) ]^2 }

Obs. Minimizando a expressão que está dentro da raiz quadrada, estaremos minimizando também a raiz quadrada que representa a distância dAB.

Assim, iremos minimizar a função f( a ) :

f( a ) = a² + [ 2a/( a - 1 ) ]^2

Derivando a função e igualando a zero, fica;

f'( a ) = 2a + 2.[ 2a/( a - 1 )].{ [ 2.( a - 1 ) - 2a.1 ]/( a - 1 )^2 }

f'( a ) = 2a - [ 8a/( a - 1 )^3 ]

2a - [ 8a/( a - 1 )^3 ] = 0

( a - 1 )^3 = 4

a - 1 = [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

a = 1 + [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3].


Logo , a = 1 + [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3] minimiza a função f( a ) , e consequentemente a distância dAB.

Cálculo do valor de b:

b = 2a/( a - 1 )

[tex3]b = \frac{2.( 1 + \sqrt[3]{4} )}{\sqrt[3]{4} + 1 - 1} [/tex3]

[tex3]b = \frac{2.( 1 + \sqrt[3]{4} )}{\sqrt[3]{4} } [/tex3]


E assim, os coeficientes p e q da reta r serão :

p = - b/a

p = [tex3]- \frac{2.\cancel{( 1 + \sqrt[3]{4} )}}{\sqrt[3]{4}.\cancel{(1 + \sqrt[3]{4} )} } [/tex3]

p = - [tex3]\sqrt[3]{\frac{8}{4}}[/tex3]

p = - [tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3]


Mas,

q = b = [tex3]\frac{2.( 1 + \sqrt[3]{4} )}{\sqrt[3]{4} } [/tex3]

Racionalizando, obtemos:

q = 2 + [tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3]


Portanto, a equação da reta r procurada é :

y = - [tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3] x + 2 + [tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3]

Ou

y - 2 = - [tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3].( x - 1 ).



Excelente estudo!