Ensino Superior ⇒ Limites trigonométricos Tópico resolvido

[matbatrobin]

Mostre que:

a) [tex3]\lim_{x \to 1}\frac{x^n-1}{x-1}=n[/tex3]
b) [tex3]\lim_{x \to 1}\frac{senx}{\pi -x}=1[/tex3]
c) [tex3]\lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex3]

[Doug]

Opa, a letra c eu consegui,

c) [tex3]\lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex3]

Aplicano o conjugado,

[tex3]\lim_{x \to 0}\frac{1-cos^{2}x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+cosx}\Rightarrow\,\lim_{x \to 0}\frac{sen^{2}x}{x^{2}}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+cosx}[/tex3]
[tex3]\therefore\,\lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x^2}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex3]

[Thales Gheós]

a) [tex3]\lim_{x \to 1}\frac{x^n-1}{x-1}=n[/tex3]

aplicando briot-ruffini: [tex3]\lim_{x \to 1}\frac{x^n-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)}{x-1}=n-1+1=n[/tex3]

aplicando l'Hopital: [tex3]\lim_{x \to 1}\frac{x^n-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{nx^{n-1}}{1}=n[/tex3]

na letra b) é mesmo [tex3]\lim_{x\to1}?[/tex3] não seria [tex3]\lim_{x\to\pi}[/tex3]?

[matbatrobin]

eu desconfiei que tava errado mesmo .....mas é o que ta escrito aqui....

E achei outro jeito de resolver a letra a)....

Observa-se que [tex3]\frac{1(x^n-1)}{x-1}[/tex3] é a soma dos n primeiros termos de uma P.G. em que [tex3]a_1=1[/tex3] e a razão [tex3]x[/tex3] tende a 1, então temos:

[tex3]S_n=1+1\cdot 1 +1\cdot 1^2+...+1\cdot 1^n \\ S_n={\underbrace{\text1+1+...+1}_{n\,vezes}}=n[/tex3], com isso fica:

[tex3]\lim_{x\to 1}\frac{x^n-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}S_n=n[/tex3]

[matbatrobin]

Thales na letra b) é x tendendo a [tex3]\pi[/tex3] mesmo

[Thales Gheós]

b) [tex3]\lim_{x \to \pi}\frac{senx}{\pi -x}=1[/tex3]

isso nos sugere buscar o limite fundamental [tex3]\lim_{x\to0}\frac{sen(x)}{x}[/tex3]

fazemos [tex3]\pi-x=a[/tex3]

[tex3]\lim_{a \to 0}\frac{sen(\pi-a)}{a}[/tex3] e como [tex3]sen(\pi-a)=sen(a)[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to \pi}\frac{senx}{\pi -x}=\lim_{a \to 0}\frac{sen(a)}{a}=1[/tex3]