Ensino Médio ⇒ Trigonometria - quadrado, ângulo, triângulo Tópico resolvido

[estudante420]

Na imagem abaixo temos um quadrado ABCD tal que M e N são pontos médios dos respectivos lados BC e CD.

Seja Teta o ângulo MÂN, então sec (Teta) = a/b, tal que a e b são os menores valores inteiros possíveis, ou seja, a/b é uma fração irredutível, marque no cartão resposta o valor de E = a² - b.

Imagem segue no anexo
obs: não tenho o gabarito

[petrasMOD]

[tex3]x=\angle BAM = \angle DAN\\
A\triangle AMB:AM^2=l^2+(\frac{l}{2})^2=\frac{5l^2}{4}\implies AM = \frac{l\sqrt5}{2}\\
\\
senx = \frac{\frac{l}{2}}{\frac{l\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt5} \implies sen^2x = \frac{1}{5}\\
α = 90º - 2.x \implies senα = sen(90º - 2.x) \implies senα = cos(2x)\\
\therefore senα = 1 - 2.sen²x \implies senα = 1 - 2.(\frac{1}{5})\\
\therefore senα = \frac{3}{5}\implies a = 3, b =5\\
\boxed{E=a^2-b = 3^2-5 = 4}\color{green}\checkmark\\
[/tex3]