Pré-Vestibular ⇒ (P.E. 1999) Funções Reais de uma Variável Real Tópico resolvido

[olgario]

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A figura representa um campo de futebol, em que as medidas dos comprimentos se referem a metros. Um jogador corre com a bola junto á linha lateral, não tem obstáculos e quer rematar à baliza. Qual deve ser a distância de modo que o ângulo sob o qual se avista a baliza seja máximo ?

Só sei que a solução é:[tex3]20\sqrt{2}\,\simeq\,28 m[/tex3]
Atenciosamente
olgario

[fabit]

O ângulo que se quer maximizar é, na figura, [tex3]\beta-\alpha[/tex3]. Imagine uma circunferência que passe pelo vértice desse ângulo e pelas traves. A parte dessa curva que não fica atrás do gol é um arco capaz de [tex3]\beta-\alpha[/tex3].

Enquanto x não for o valor correto, a lateral do campo será SECANTE ao arco capaz, por que ainda será possível escolher pontos da lateral do campo no INTERIOR do arco e que, portanto exibiriam um valor melhorado para [tex3]\beta-\alpha[/tex3].

Logo, a situação na qual não é mais possível melhorar (escolher um ponto da lateral interior ao arco capaz) é tal que a lateral do campo é TANGENTE ao arco. E aí vale [tex3]x^2=25(25+7)[/tex3] (por potência de ponto, considerando o ponto do corner, ou escanteio)

[tex3]x=\sqrt{25.32}=5.4.\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]x=20\sqrt{2}[/tex3]

Se não entender grite.