Ensino Superior ⇒ Equação diferencial ordinárias de segunda ordem Tópico resolvido

[Stich]

Dada a EDO de segunda ordem

[tex3]\dfrac{d^2y}{dx^2}+(2m-1)\dfrac{dy}{dx}+m(m-1)y=0[/tex3]

Determine para quais [tex3]m\in \mathbb{R}[/tex3], são tais que:

i) Todas as soluções tendem a 0 quando [tex3]t\rightarrow+\infty[/tex3].
ii) Todas as soluções são ilimitadas.

[AnthonyC]

Sabemos que EDO's lineares homogêneas de segunda ordem possuem solução dadas em função das raízes de seu polinômio característico. Se as raízes forem [tex3]r_1, r_2[/tex3], a solução terá a seguinte forma:
[tex3]y=\begin{cases}
C_1 e^{r_1t}+C_2 e^{r_2 t},~~~~~~~~~r_1,r_2\in\mathbb{R},~~~~r_1\neq r_2\\
C_1 e^{r_1t}+C_2 t\cdot e^{r_1 t},~~~~r_1,r_2\in\mathbb{R}, ~~~~r_1=r_2\\
e^{pt}\[C_1\cos(qt)+C_2\sen(qt)\],~~~~~~r_1,r_2\in\mathbb{C},
\end{cases}[/tex3]
Tomando o polinômio característico da EDO, temos:
[tex3]r^2+(2m-1)r+m(m-1)=0[/tex3]
Por Bhaskara, obtemos:
[tex3]r={-(2m-1)\pm \sqrt{(2m-1)^2-4m(m-1)}\over 2}[/tex3]
[tex3]r={1-2m\pm \sqrt{4m^2-4m+1-4m^2+4m}\over 2}[/tex3]
[tex3]r={1-2m\pm \sqrt{1}\over 2}[/tex3]
[tex3]r={1-2m\pm 1\over 2}[/tex3]
[tex3]r_1=1-m,~~~~r_2=-m[/tex3]
Logo, [tex3]r_1,r_2\in\mathbb{R}[/tex3]. Vemos também que [tex3]1-m\neq -m, \forall~ m\in\mathbb{R}[/tex3] (vou deixar de tarefa verificar isso). Assim, temos que [tex3]r_1\neq r_2[/tex3]. Logo, a solução da EDO será da forma:
[tex3]y= C_1 e^{(1-m)}+C_2 e^{-m t}[/tex3]
Vamos agora considerar os limites pedidos:
[tex3]\lim_{t\rightarrow +\infty }y[/tex3]
[tex3]\lim_{t\rightarrow +\infty }C_1 e^{(1-m)t}+C_2 e^{-m t}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\lim_{t\rightarrow +\infty }e^{at}=\begin{cases}
0,~~a<0 \\
1,~~a=0 \\
\infty,~~ a>0
\end{cases}[/tex3]. Vamos dividir a analise em casos:

• Se [tex3]m>1\implies 1-m, -m<0[/tex3], logo [tex3]\lim_{t\rightarrow +\infty }C_1 e^{(1-m)t}+C_2 e^{-m t}=0[/tex3]
  [tex3][/tex3]
• Se [tex3]m<0\implies 1-m, -m>0[/tex3], logo:
  [tex3]L=\lim_{t\rightarrow +\infty }C_1 e^{(1-m)t}+C_2 e^{-m t} [/tex3]
  [tex3]L=\lim_{t\rightarrow +\infty }e^{(1-m)t}\(C_1 +{C_2 e^{-t}}\) [/tex3]
  [tex3]L=\infty \cdot(C_1 +0 ) [/tex3]
  [tex3]L=\begin{cases}
  \infty, ~~C_1>0 \\
  -\infty, ~~C_1 <0
  \end{cases}[/tex3]
  Se [tex3]C_1=0[/tex3], temos [tex3]L=\lim_{t\rightarrow +\infty }C_2 e^{-m t}= \begin{cases}
  \infty, ~~C_2>0 \\
  -\infty, ~~C_2 <0\\
  0, ~~C_2=0
  \end{cases}[/tex3]
  [tex3][/tex3]
• Se [tex3]1\gt m\gt 0[/tex3], temos que [tex3]1-m>0[/tex3] e [tex3]-m<0[/tex3], logo [tex3]L=\begin{cases}
  0, ~~C_1=0 \\
  +\infty, ~~C_1>0\\
  -\infty ,~~C_1<0
  \end{cases}[/tex3]
  [tex3][/tex3]
• Se [tex3]m=1[/tex3], temos que [tex3]L=\lim_{t\rightarrow +\infty }C_1+C_2 e^{- t}=C_1+0=C_1 [/tex3]
• Se [tex3]m=0[/tex3], temos que [tex3]L=\lim_{t\rightarrow +\infty }C_1e^t+C_2 =\begin{cases}
  C_2, ~~C_1=0 \\
  +\infty, ~~C_1>0\\
  -\infty ,~~C_1<0
  \end{cases} [/tex3]

Assim, temos que para [tex3]m>1[/tex3] todas as soluções tendem a zero e para [tex3]m<0[/tex3] todas as soluções são ilimitadas, com exceção da trivial. No caso de [tex3]0\leq m\leq 1[/tex3], nem todas tendem a zero ou são limitadas, dependendo dos valores de [tex3]C_1[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3].