IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2022) A Formiga e a Aranha Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Em um piso formado por ladrilhos nos formatos de hexágonos regulares congruentes de lados iguais a [tex3]2\ cm[/tex3], uma formiga se encontra no ponto [tex3]F[/tex3], uma aranha no ponto [tex3]A[/tex3] e uma migalha de pão em [tex3]P[/tex3], conforme figura abaixo.

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A formiga e a aranha se deslocam em direção a [tex3]P[/tex3] no mesmo instante e com velocidades constantes iguais. A formiga somente se desloca através dos segmentos determinados pelos lados dos hexágonos. Quando a aranha chega em [tex3]P[/tex3], qual é a menor distância possível, em [tex3]cm[/tex3], dela até a formiga?

(A) [tex3]2 \sqrt{58 - 11\sqrt3}[/tex3]
(B) [tex3]2 \sqrt{29 - 3\sqrt{21}}[/tex3]
(C) [tex3]2 \sqrt{58 - 11\sqrt{21}}[/tex3]
(D) [tex3]2 \sqrt{37 - 11\sqrt3}[/tex3]
(E) [tex3]2 \sqrt{37 - 4\sqrt{21}}[/tex3]

Resposta

---

C

[petrasMOD]

ALDRIN,


[tex3]\mathrm{
A S= 2+4+2+1 = 9\\
PS = h\triangle_{OPS} = \frac{l\sqrt3}{2} = \sqrt3\\
\therefore AP^2=AS^2+PS^2 = 84 \therefore AP = 2\sqrt{21}\\
PT=3h = 3\sqrt3\\
RJ = 2 - (2\sqrt{21}-8)=10-2\sqrt{21}\\
TJ = TR+RJ=1+10-2\sqrt{21} = 11-2\sqrt{21}\\
PJ^2 = PT^2+TJ^2 = 27+121-44\sqrt{21}+84\implies232-44\sqrt{21}\\
PJ =\sqrt{4(58-11\sqrt{21}}\therefore \boxed{PJ = 2\sqrt{58-11\sqrt{21}}}\color{green}\checkmark
}[/tex3]