Ensino Médio ⇒ (SAS 2022) - Análise Combinatória Tópico resolvido

[nathaalia]

O triminó é uma recriação pouco conhecida do jogo
de tabuleiro tradicional dominó. A alteração do triminó
está na configuração das peças, que, com formato
triangular, passam a ter três lados. A figura a seguir
mostra algumas peças dessa recriação.

Dúvida Matemática.png (40.66 KiB) Exibido 2623 vezes

A quantidade de peças de um triminó cuja numeração das
pontas varia de 0 a 6 é
a) 20.
b) 35.
c) 56.
d) 77.
e) 84.

Resposta

---

E

[joaopcarvMOD]

nathaalia, é o seguinte:

Neste exercício, devemos tomar o cuidado de desconsiderar as permutações circulares dentro da peça triangular, ou seja, ao mudarmos as posições dos algarismos nas casas do triângulo, não é formada uma nova peça, porque é como se estivéssemos rotacionando/refletindo a peça original.

Temos então três casos:

Três algarismos iguais:

Escolhemos [tex3]\mathsf{1}[/tex3] dos [tex3]\mathsf{7}[/tex3] algarismos disponíveis (de [tex3]\mathsf{0}[/tex3] a [tex3]\mathsf{6}[/tex3]) e simplesmente repetimos esse algarismo três vezes nas casas do triângulo:

[tex3]\mathsf{C_{(7,1)} \ = \ 7}[/tex3] possibilidades.

Dois algarismos iguais e um diferente:

Selecionamos [tex3]\mathsf{2}[/tex3] algarismos dentre os [tex3]\mathsf{7}[/tex3] disponíveis por [tex3]\mathsf{C_{(7,2)}}[/tex3]. Sejam esses algarismos selecionados [tex3]\mathsf{A}[/tex3] e [tex3]\mathsf{B}[/tex3].

Temos então as seguintes possibilidades: repetir [tex3]\mathsf{A}[/tex3] duas vezes [tex3]\mathsf{(AAB)}[/tex3] ou repetir [tex3]\mathsf{B}[/tex3] duas vezes [tex3]\mathsf{(BBA)}[/tex3]. Duas possibilidades distintas.

Portanto, temos:

[tex3]\mathsf{C_{(7,2)} \cdot 2}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\rightarrow \ \dfrac{7 \cdot 6}{\cancel{2!}} \cdot \cancel{2} \ = \ 42}[/tex3] peças definidas.

Três algarismos diferentes:

Selecionamos [tex3]\mathsf{3}[/tex3] algarismos dentre os [tex3]\mathsf{7}[/tex3] disponíveis por [tex3]\mathsf{C_{(7,3)}}[/tex3] e essa opção já fica definida, porque ao colocarmos os algarismos no triângulo randomicamente, não precisamos nos preocupar com a permutação dos algarismos, já que essa equivale a apenas girarmos/refletirmos uma peça já existente.

[tex3]\mathsf{C_{(7,3)} \ = \ \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5}{\cancel{3!}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\rightarrow \ = \ 35}[/tex3] possibilidades para peças.

Somando esses três cenários, temos:

[tex3]\mathsf{7 \ + \ 42 \ + \ 35 \ = \ \boxed{\mathsf{84 \ peças \ no \ total}}.}[/tex3]

[nathaalia]

entendi perfeitamente, muito obrigada!