Ensino Médio ⇒ União e Intersecção - Inequações Modulares Tópico resolvido

[estudante420]

Quando usar intersecção e união em inequações modulares?

Sei resolver as inequações, mas não estou entendendo quando utilizar União e Intersecção nos problemas para escrever o(s) intervalo(s) da solução. Sinto que estou errando algo simples, mas não consigo entender o que. Já pesquisei em sites e vídeos, mas ainda não entendi. Se alguém puder me explicar quando utilizar união e intersecção eu agradeceria.

Exemplo de exercícios:

(Fuvest)
Seja f(x) = |2x²-1|, sendo x pertencente ao conjunto dos números reais. Determinar os valores de x para os quais f(x) < 1.
No final desse problema utiliza-se a intersecção. Por que?
Gabarito: S = (0,1)

(Furg)
O conjunto de todos os números reais x que satisfazem a inequação |x² -2| < 1 é:
Já nesse problema usa-se a União.
Gabarito: (-√3, -1) U (1, √3)

[Daleth]

Na realidade vc tem que fazer as duas coisas, tanto a interseção como a união

Mas geralmente tem uma ordem: primeiro vc faz a interseção e no final vc faz a união

Eu vou ensinar um método que aprendi com meu professor no ensino médio e que acho menos confuso do que eu geralmente vejo por aí na internet

Vou usar o primeiro exercício de exemplo

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Screenshot_20220512-232103.jpg (28.79 KiB) Exibido 1835 vezes

Neste caso é bem simples, basta fazer [tex3]2x^2-1<1[/tex3] e [tex3]-(2x^2-1)<1[/tex3]

É recomendável vc sempre colocar a inequação em relação a zero (isso ajuda no estudo do sinal)
Logo, sobre as duas equações acima nós obtemos:

[tex3]x^2-1<0[/tex3] e [tex3]-x^2<0[/tex3] (recomendo também nunca alterar o coeficiente do [tex3]x^2[/tex3], pois pode atrapalhar no estudo do sinal)

Para o primeiro as raízes são [tex3]1\: e \:-1[/tex3], e para o segundo a raiz é [tex3]0[/tex3]

Agora vamos colocar tudo no gráfico, porém apenas usando o eixo x

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Screenshot_20220512-233056.jpg (39.84 KiB) Exibido 1835 vezes

Veja, aqui temos 2 gráficos do eixo x (um para [tex3]x^2-1[/tex3] e outro para [tex3]-x^2[/tex3])

Vc vai desenhar a parábola marcando as raízes da equação
O macete vem agora: tudo o que estiver fora da parábola vc coloca o sinal do coeficiente de [tex3]x^2[/tex3]
E tudo o que estiver dentro da parábola vc coloca o sinal contrário do coeficiente de [tex3]x^2[/tex3]

No caso do primeiro o sinal de [tex3]x^2[/tex3] é positivo, o intervalo de [tex3]1 \: a \:-1[/tex3] está dentro da parábola e portanto marcamos tudo com negativo e o restante de fora tudo positivo

No segundo caso o sinal de [tex3]x^2[/tex3] é negativo, simplesmente nada está dentro da parábola e por conta disso fica tudo negativo

Vc vai desenhar um terceiro gráfico do eixo x, essa será a interseção dos outros gráficos
Para isso vc vai observar quais intervalos tem sinais iguais (neste caso intervalos que ambos sejam negativos)
Nessa questão em específico temos que os intervalos negativos em ambos são de [tex3]-1 \:a\:0[/tex3] e de [tex3]0\: a \:1[/tex3]

Como na última imagem, a resposta é a união da interseção:

[tex3]S=(-1,0)U(0,1)[/tex3]

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Se ficou qualquer dúvida ou alguma ponta solta vc pode falar que eu vou estar ajudando para explicar

[estudante420]

Vc ajudou demais!!! Muito obrigado pela ótima resposta detalhada, de verdade

[Argean]

Ola.

Vi sua resposta, mas acho que prefiro seguir o método tradicional que já estou acostumado.
Mas estou com o mesmo problema da pessoa que postou a dúvida. Quando usar união ou interseção?
Vc disse que usamos as duas. Primeiro interseção e depois união.

Assim, eu posso seguir o método tradicional e fazer esse processo? Ou seja, faço o quadro de estudo de sinais e na hora de defiir a solução eu faço a interseção e depois união?

[Daleth]

Oii @Argean tudo bem??

Conheço o método tradicional que usa um quadro né?
Pode usar sim sem problemas, e a dica que eu dei continua valendo: interseção antes e união dos intervalos depois!!
Qualquer dúvida manda mensagem, bons estudos!!

[Argean]

Oii @Argean tudo bem??

Conheço o método tradicional que usa um quadro né?
Pode usar sim sem problemas, e a dica que eu dei continua valendo: interseção antes e união dos intervalos depois!!
Qualquer dúvida manda mensagem, bons estudos!!

Valeu.

[StillMarking]

Achei esse video na net, professor explica muito bem a diferença de quando usar intersecçao ou uniao.

Bons Estudos...

https://youtu.be/Pkmt0rkfg9M?si=BN-SDmR5FfBadzZV

[Argean]

StillMarking, vou conferir. Obrigado