Ensino Superior ⇒ Dúvida: Integral de Linha Tópico resolvido

[miguel747]

Bem galera, gostaria de uma explicação acerca de uma resolução que tem no livro do Stewart Volume 2 - 6ª edição (questão 21 pag 1006). A questão pede para provar que a área do polígono é dado pela seguinte equação:

[tex3]A = \frac{1}{2}[(x_1y_2-x_2y_1)+...+(x_ny1-x_1y_n)][/tex3]

sendo que (x_1,y_1)...(x_n,y_n) são os vértices do polígono.

Antes disso o problema pede para provar a seguinte relação que:

[tex3]\int_C xdy-ydx = x_1y_2-x_2y_1[/tex3], dado que a curva C é o segmento de reta limitado pelos pontos [tex3](x_1,y_1)[/tex3] e [tex3](x_2,y_2)[/tex3].

Resolução: Foi tranquila, basta parametrizar da seguinte forma: [tex3]\begin{cases}
x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\
y = y_1 + (y_2 - y_1)t
\end{cases}[/tex3] e [tex3]\begin{cases}
dx = (x_2 - x_1)dt \\
dy = (y_2 - y_1)dt
\end{cases}[/tex3]

Daí substituindo na integral temos a solução.

Até aí tudo bem.

Para resolver o problema da área, utiliza-se o teorema de Green pois a região do polígono é simples e fechada.

Temos, portanto, que a soma de todos os comprimentos [tex3]C = C1UC2UC3UC4...Cn[/tex3] será igual a área da região limitada pela curva [tex3]C[/tex3] . Julgando dessa forma temos que a formula correta seria [tex3]A = [(x_1y_2-x_2y_1)+...+(x_ny1-x_1y_n)][/tex3], logo de onde aparece esse [tex3]\frac{1}{2}[/tex3], não entendi de fato e sei que estou errado em algum momento do raciocínio.

Se alguem puder me explicar, eu agradeço.

Abs.

[Cardoso1979]

Observe

, logo de onde aparece esse [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Resposta:

O Teorema de Green dá as seguintes fórmulas para a área de D:

A = [tex3]\oint _{C}[/tex3] x dy = - [tex3]\oint _{C}[/tex3] y dx = [tex3]\frac{1}{2}. \oint _{C}[/tex3] x dy - y dx . ( Essa é a quinta fórmula).

Na página 973 da 8° Edição( Stewart volume 2 ) o autor fornece mais detalhes...



Excelente estudo!