Ensino Superior ⇒ Como vocês resolveriam essa integral definida? Tópico resolvido

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[tex3]\int\limits_{2}^{7}\frac{dx}{(3-5x^2)}[/tex3]

Resultado: 0, 0223

[Shinjas]

Resolvendo a integral indefinida: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2}[/tex3]
utilizando a diferença de dois quadrados para fatorar o denominador: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)}[/tex3]
Agora vamos quebrar em frações parciais o integrando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)} = \int\limits_{}^{}\frac{1}{2\sqrt{3}}(\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x} + \frac{1}{\sqrt{3} +\sqrt{5}x})dx[/tex3]
Retirando a constante para fora do integrando, e divindo em duas equações chegamos em: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} + \sqrt{5}x} + \frac{1}{2\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}[/tex3]
Para resolver a primeira integral vamos fazer a substituição: [tex3]u = \sqrt{5}x + \sqrt{3}[/tex3] e por consequência [tex3]du = \sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na primeira integral: [tex3]\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{}^{}\frac{du}{u} = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|u| + c1, c1\in R[/tex3]
Para resolver a segunda integral vamos fazer a substituição: [tex3]v = \sqrt{3} - \sqrt{5}x[/tex3] e por consequência [tex3]dv = -\sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na segunda integral: [tex3]-\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{
}^{}\frac{dv}{v} =-\frac{ln|v|}{2\sqrt{15}} + c2, c2\in R[/tex3]
Finalizando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{u}{v}| + C = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C, C\in R[/tex3]

F(x) = [tex3]\frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C[/tex3]

Uma vez a integral indefinida resolvida, basta fazer F(7) - F(2) e obter o resultado. Evidentemente as constantes C, c1 e c2 são irrelevantes para o problema.

[Auto Excluído (ID: 28792)]

Resolvendo a integral indefinida: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2}[/tex3]
utilizando a diferença de dois quadrados para fatorar o denominador: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)}[/tex3]
Agora vamos quebrar em frações parciais o integrando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)} = \int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x} + \frac{1}{\sqrt{3} +\sqrt{5}x})dx[/tex3]
Retirando a constante para fora do integrando, e divindo em duas equações chegamos em: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} + \sqrt{5}x} + \frac{1}{\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}[/tex3]
Para resolver a primeira integral vamos fazer a substituição: [tex3]u = \sqrt{5}x + \sqrt{3}[/tex3] e por consequência [tex3]du = \sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na primeira integral: [tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{}^{}\frac{du}{u} = \frac{1}{\sqrt{15}}ln|u| + c1, c1\in R[/tex3]
Para resolver a segunda integral vamos fazer a substituição: [tex3]v = \sqrt{3} - \sqrt{5}x[/tex3] e por consequência [tex3]dv = -\sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na segunda integral: [tex3]-\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{
}^{}\frac{dv}{v} =-\frac{ln|v|}{\sqrt{15}} + c2, c2\in R[/tex3]
Finalizando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{\sqrt{15}}ln|\frac{u}{v}| + C = \frac{1}{\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C, C\in R[/tex3][/tex3]

F(x) = [tex3]\frac{1}{\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C[/tex3]

Uma vez a integral indefinida resolvida, basta fazer F(7) - F(2) e obter o resultado. Evidentemente as constantes C, c1 e c2 são irrelevantes para o problema.

Olá você poderia mostrar como ficaria fazendo F(7) - F(2) e veja se esse resultado bate com o esperado de 0,0223?

[Shinjas]

Olá você poderia mostrar como ficaria fazendo F(7) - F(2) e veja se esse resultado bate com o esperado de 0,0223?

É o caso usar calculadora.
[tex3]\sqrt{5} = 2,2360679[/tex3] / [tex3]\sqrt{3} = 1,732050808[/tex3] / [tex3]\sqrt{15} = 3,872983346[/tex3]

[tex3]\sqrt{5}.7 + \sqrt{3} = 17,38452665[/tex3]
[tex3]|\sqrt{3} - \sqrt{5}.7| = 13,92042503[/tex3]

[tex3]ln(\frac{17,38452665}{13,92042503}) = 0,2222233494[/tex3]

[tex3]\sqrt{5}.2 + \sqrt{3} = 6,204186763[/tex3]
[tex3]|\sqrt{3} - \sqrt{5}.2| = 2,740085147[/tex3]

[tex3]ln(\frac{6,204186763}{2,740085147}) = 0,817235353[/tex3]

[tex3]F(7) = \frac{0,2222233494}{2\sqrt{15}} = 0,02868891105 [/tex3]
[tex3]F(2) = \frac{0,817235353}{2\sqrt{15}} = 0,1055046304[/tex3]
[tex3]F(7) - F(2) = -0,0768157193 [/tex3]

Esse valor de 0,0233 provavelmente está errado, até porque se você plotar o gráfico no intervalo entre 2 e 7 você verá que da uma área negativa.
-0,07681571935 é o valor certo para a integral apresentada.

[Auto Excluído (ID: 28792)]

Como ficaria caso fosse da maneira abaixo? provavelmente encontraríamos o valor 0,223?

[tex3]\int\limits_{2}^{7}\frac{dx}{(3-5x)^2}[/tex3]