Ensino Superior ⇒ Cálculo de volumes com integrais Tópico resolvido

[ziguiriguidun]

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta x = 1,
da região sobre a curva [tex3]y=x\sqrt{1-x^{2}}, [/tex3] onde [tex3]0\leq x\leq 1.[/tex3]

[Matheusrpb]

[tex3]y = x\sqrt{1-x^2} \ \rightarrow \ y' = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}[/tex3]

[tex3]\text{Assim, }y \text{ é crescente entre } 0 \text{ e } \frac{\sqrt2}2 \text{ e decrescente entre } \frac{\sqrt2}2 \text{ e } 1. \text{ Segue o esboço do gráfico: }[/tex3]

2022-06-10.png (35.49 KiB) Exibido 639 vezes

[tex3]\text{Dessa forma, o volume será obtido da seguinte forma: }[/tex3]

[tex3]V = \pi\int^{\frac{\sqrt2}2}_0(1-x)^2dy - \pi\int^{1}_{\frac{\sqrt2}2}(1-x)^2dy[/tex3]

[tex3]V = \pi\int^{\frac{\sqrt2}2}_0\frac{(1-x)^2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx - \pi\int^{1}_{\frac{\sqrt2}2}\frac{(1-x)^2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx[/tex3]

[tex3]\text{Substituição de variável:}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x = \sin\alpha, \ \alpha \in \[-\frac\pi2,\frac\pi2\] \\ dx = \cos\alpha \ d\alpha \end{cases}[/tex3]


[tex3]V = \pi\int^{\frac{\pi}4}_0\frac{(1-\sen\alpha)^2(1-2\sen^2\alpha)\cos\alpha}{\sqrt{1-\sen^2\alpha}}d\alpha - \pi\int^{\frac\pi2}_{\frac{\pi}4}\frac{(1-\sen\alpha)^2(1-2\sen^2\alpha)\cos\alpha}{\sqrt{1-\sen^2\alpha}}d\alpha[/tex3]

[tex3]V = \pi\int^{\frac{\pi}4}_0\frac{(1-\sen\alpha)^2\cos(2\alpha)\cos\alpha}{|\cos\alpha|}d\alpha - \pi\int^{\frac\pi2}_{\frac{\pi}4}\frac{(1-\sen\alpha)^2\cos(2\alpha)\cos\alpha}{|\cos\alpha|}d\alpha \ \rightarrow \ \cos\alpha > 0[/tex3]

[tex3]V = \pi\int^{\frac{\pi}4}_0\(\sen^2\alpha - 2\sen\alpha + 1\)\cos(2\alpha)d\alpha - \pi\int^{\frac\pi2}_{\frac{\pi}4}(\sen^2\alpha - 2\sen\alpha + 1)\cos(2\alpha)d\alpha[/tex3]

[tex3]V = \pi\int^{\frac{\pi}4}_0\(\(\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\) - 2\sen\alpha + 1\)\cos(2\alpha)d\alpha - \pi\int^{\frac\pi2}_{\frac{\pi}4}\(\(\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\) - 2\sen\alpha + 1\)\cos(2\alpha)d\alpha[/tex3]

[tex3]V = \pi\int^{\frac{\pi}4}_0\(\frac32\cos(2\alpha) -2\sen\alpha\cos(2\alpha)-\frac12\cos^2(2\alpha)\)d\alpha - \pi\int^{\frac\pi2}_{\frac{\pi}4}\(\frac32\cos(2\alpha) -2\sen\alpha\cos(2\alpha)-\frac12\cos^2(2\alpha)\)d\alpha[/tex3]

[tex3]V = \pi\[\frac34\sen(2\alpha)\]^{\frac\pi 4}_{0} - \pi\[\frac34\sen(2\alpha)\]^{\frac\pi 2}_{\frac \pi4} + \pi\int^{\frac{\pi}4}_0\(\sen\alpha - \sen(3\alpha)-\frac{1+\cos(4\alpha)}{4}\)d\alpha - \pi\int^{\frac\pi2}_{\frac{\pi}4}\(\sen\alpha - \sen(3\alpha)-\frac{1+\cos(4\alpha)}{4}\)d\alpha[/tex3]

[tex3]V = \pi\[\frac34\sen(2\alpha) - \cos\alpha+\frac{\cos(3\alpha)}{3}-\frac\alpha 4 - \frac{\sen(4\alpha)}{16}\]^{\frac\pi 4}_{0} - \pi\[\frac34\sen(2\alpha) - \cos\alpha+\frac{\cos(3\alpha)}{3}-\frac\alpha 4 - \frac{\sen(4\alpha)}{16}\]^{\frac\pi 2}_{\frac \pi4}[/tex3]

[tex3]V =\pi\(\frac34 - \frac{\sqrt2}2 - \frac{\sqrt{2}}{6}-\frac\pi{16}+1-\frac13\) - \pi\(-\frac\pi8 -\frac34 + \frac{\sqrt2}2 + \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac\pi{16}\) [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{V = \pi\(\frac{13 -8\sqrt2}6\)}}[/tex3]