Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - Aproximação Linear Tópico resolvido

[samra]

Olá pessoal, boa noite

Se possível, me ajudem a resolver esta questão, por gentileza:

Verifique a aproximação linear dada em a=0 . A seguir, determine os valores de x para os quais
a aproximação linear tem precisão de 0,1.

a) [tex3]\sqrt{1+x}[/tex3] = 1 + [tex3]\frac{1}{2}x[/tex3]

b) tg x = x

c)1/(1+2x)^4 = 1-8x

d) e^x = 1 + x

obs: entendam o igual como aproximadamente ( nn achei o sinal de aproximadamente)
me ajudem só com a letra a msm (por favor), só pra eu pegar a idéia, e as demais eu tento fazer sozinha
não soube resolver a parte destacada em sublinhado.

Muito Obrigada.
Abraço :*

Resposta

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a) -0,69<x<1,09
c)-0,045<x<0,055

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!! Mais uma questão com gabarito

Verifique a aproximação linear dada em a=0 . A seguir, determine os valores de x para os quais
a aproximação linear tem precisão de 0,1.

a) [tex3]\sqrt{1+x}[/tex3] ≈ 1 + [tex3]\frac{1}{2}x[/tex3]

obs: me ajudem só com a letra a msm (por favor), só pra eu pegar a idéia, e as demais eu tento fazer sozinha
não soube resolver a parte destacada em sublinhado.

Uma solução:

Gráfico de y = √( 1 + x ) e sua linearização quando x = 0 e x = 3.

Screenshot_20220615-201608-508.png (26.36 KiB) Exibido 541 vezes

Vista ampliada da pequena janela ao redor de 1 no eixo y:

Screenshot_20220615-201638-217.png (38.6 KiB) Exibido 541 vezes

Como

f'( x ) = ( 1/2 ). [ ( 1 + x )[tex3]^{-\frac{1}{2}}[/tex3] ] ,

temos que f( 0 ) = 1 , f'( 0 ) = 1/2 , o que leva à linearização

L( x ) ≈ f( a ) + f'( a ).( x - a ) ≈ 1 + (1/2).( x - 0 ) ≈ 1 + ( x/2 ). C.q.v.



Para ter uma precisão de 0,1 , significa que as funções devem diferir por menos que 0,1.

| √( 1 + x ) - [ 1 + (1/2).x ] | < 0,1

Da mesma forma, podemos escrever

√( 1 + x ) - 0,1 < 1 + (1/2).x < √( 1 + x ) + 0,1

o que diz que a aproximação linear deve se encontrar entre as curvas obtidas deslocando-se a curva y = √( 1 + x ) para cima e para baixo por uma distância de 0,1. A figura( gráfico ) abaixo mostra a reta tangente y = 1 + (1/2).x em intersecção com a curva superior y = √( 1 + x ) + 0,1 em P e Q . Dando um zoom, estimamos que a coordenada x de P seja em torno de - 0,69 e a coordenada x de Q seja em torno de 1,09. Assim, vemos pelo gráfico que a aproximação

√( 1 + x ) ≈ 1 + (1/2).x

tem precisão de 0,1 quando - 0,69 < x < 1,09( Arredondamos por segurança).

Screenshot_20220616-073614-881~2.png (36.15 KiB) Exibido 541 vezes

Obs1 Para você encontrar os valores acima, basta que você determine a seguinte equação:

1 + ( 1/2 ).x = √( 1 + x ) + 0,1

Cuja soluções são:

x = ( 1/5 ) - ( 2/√5 ) ≈ - 0,69 ; x = ( 1/5 ) + ( 2/√5 ) ≈ 1,09.




Obs.2 Com relação ao último gráfico , o ideal é que você represente as quatro ( 4 ) funções nele , pois fica mais completa a análise , não fiz isso, pois eu não tenho tanta habilidade com esses tipos de gráficos...

Ficou faltando incluir nesse último gráfico os gráficos de y = √( 1 + x ) e de y = √( 1 + x ) - 0,1.




Excelente estudo!