Olimpíadas ⇒ Aritmética - Canadian IMO training camps Winter 2022 Tópico resolvido

[Babi123]

Para cada inteiro positivo [tex3]n[/tex3], seja [tex3]s(n)[/tex3] a soma dos quadrados dos algarismos de [tex3]n[/tex3]. Por exemplo [tex3]s(15)=1^2+5^2=26[/tex3]. Determine todos os inteiros [tex3]n\geq1[/tex3] tal que [tex3]s(n)=n[/tex3].

[leozitz]

[tex3]n = \overline{x_kx_{k-1}...x_1x_0}_{(10)} = 10^{k}x_k + 10^{k-1}x_{k-1} + ... + 10x_1 + x_0 \ge 10^k[/tex3]
[tex3]s(n) = \sum_{i=0}^{k}x_i^2 \le \sum_{i=0}^{k}9^2 = 9^2(k+1)[/tex3]
[tex3]10^k\le 9^2(k+1)[/tex3]
para k = 3 isso é falso, então [tex3]k\le 2[/tex3]; já que [tex3]\frac{10^k}{k+1}[/tex3] é crescente em [tex3]\mathbb Z_{>0}[/tex3]
para k = 2:
[tex3]81a + b^2 + a^2 + c\le9^2a + 9a +10b+c = 100a + 10b + c = a^2 + b^2 + c^2[/tex3]

[tex3]9^2a+c\le c^2[/tex3]
para c = 0 isso é claramente falso então [tex3]9^2a + c > 9^2a[/tex3] dai
[tex3]9^2 < 9^2a+c\le c^2\le 9^2[/tex3] q é um absurdo
para k = 1:
[tex3]10a + c = a^2 + c^2[/tex3]

[tex3]10a -a^2 = c(c-1) = par[/tex3] logo a é par.

[tex3]c\equiv c^2\pmod 4[/tex3]
mas [tex3]c^2[/tex3] só pode ser 1 ou 0 mod 4
dai c só pode ser 0, 4, 8, 5 ou 9
[tex3]0 = a^2 - 10a + c^2 - c[/tex3]
[tex3]\Delta = 4\sqrt{25-c^2+c}[/tex3] então [tex3]c\le 5[/tex3]
[tex3]c = 0[/tex3] n tem sol, lembrando q a é um digito na base 10.
[tex3]c = 4\rightarrow 10a + 4 = a^2 + 16[/tex3]
[tex3]0 = a^2 - 10a + 12[/tex3] q n tem raiz inteira
[tex3]c=5\rightarrow 10a + 5 = a^2 + 25[/tex3] q tbm n tem raiz inteira
então o único caso possivel é [tex3]1 = 1^2[/tex3]