Ensino Superior ⇒ (Anton) Taxas Relacionadas Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

(Questão 36, pág. 223, 8ª ed.)
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Um helicóptero está voando em direção ao norte a [tex3]100 \,\, km / h[/tex3] e a uma altitude constante de [tex3]0,5 \,\, km[/tex3]. Abaixo, um carro viaja para o oeste em uma estrada a [tex3]75 \,\, km / h[/tex3]. No momentio em que o helicóptero cruza a estrada, o carro está [tex3]2 \,\, km[/tex3] a leste dele.
(a) Com que velocidade está mudando a distância entre o carro e o helicóptero, no memento em que o helicóptero cruza a estrada?
(b) Naquele momento, a distância entre o carro e o helicóptero estará crescendo ou decrescendo?

Não há gabarito.

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!!!! Mais uma questão com a FONTE

Uma solução:

(a) Com que velocidade está mudando a distância entre o carro e o helicóptero, no memento em que o helicóptero cruza a estrada?

Seja P o ponto da trajetória do helicóptero que está diretamente acima da trajetória do carro. Sejam x , y e
z as distâncias mostradas na primeira figura. Encontrar [tex3]\frac{dz}{dt}|_{x=2 \ , \ y = 0}[/tex3] , dado que dx/dt = - 75 (Por quê???) e dy/dt = 100. Para encontrar uma equação relacionando x , y e z , primeiro desenhe o segmento de reta que une o ponto P ao carro, como mostra a segunda figura.

Como o triângulo OPC é retângulo, segue que PC tem comprimento √[ x² + ( 1/2 )^2 ] ; mas o triângulo HPC também é um triângulo retângulo então

z² = √[ x² + ( 1/2 )^2 ]^2 + y² = x² + y² + ( 1/4 ) e

2z.( dz/dt ) = 2x.( dx/dt ) + 2y.( dy/dt ) + 0 →

[tex3]\frac{dz}{dt} = \frac{1}{z}.\left( x\frac{dx}{dt} \ + \ y\frac{dy}{dt}\right)[/tex3].

Agora, quando x = 2 e y = 0 ,

z² = ( 2 )^2 + ( 0 )^2 + ( 1/4 ) = 17/4 →

z = ( √17 )/2

Assim,

[tex3]\frac{dz}{dt}|_{x=2 \ , \ y = 0} = \frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{2}}.[ 2.( - 75 ) + 0.( 100 ) ] [/tex3] = - 300/( √17 ) km/h ou - ( 300√17 )/17 km/h.

Figura 1:

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Figura 2 :

Screenshot_20220701-172511-714~2.png (39.04 KiB) Exibido 321 vezes

Dificilmente eu respondo outras perguntas acompanhada da pergunta principal, ou seja , letra b) , c) , d) , etc , porém, "quebrarei esse galho " .


(b) Naquele momento, a distância entre o carro e o helicóptero estará crescendo ou decrescendo?

Decrescendo, pois dz/dt < 0.


Excelente estudo!