Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1979) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere-se o triângulo ao abaixo. Usando-se a lei dos senos e as propriedades dos determinantes, conclui-se que o valor de [tex3]\left|\begin{array}{ccc} a &&& a^2 &&& sen\alpha \\ b &&& b^2 &&& sen\beta \\ c &&& c^2 &&& sen\theta \end{array}\right|[/tex3] é igual a

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a) [tex3]sen\alpha.sen\beta.sen\theta[/tex3].
b) [tex3]zero[/tex3].
c) [tex3]{-}1[/tex3].
d) [tex3]1[/tex3].
e) [tex3]abc[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

Pela lei dos senos temos:

[tex3]\frac{a}{sen \alpha}=\frac{b}{sen \beta}= \frac{c}{sen \theta}= k[/tex3]

[tex3]asen \beta= b sen\alpha= asen \theta= c sen \alpha= b sen \theta= c sen \beta= k[/tex3]


Calculando o determinante teremos:

[tex3]b^2asen \theta+a^2csen \beta+c^2bsen \alpha-b^2csen \alpha-c^2asen \beta-a^2bsen \theta \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow ab(bsen \theta-a sen \theta)+ac(asen \beta-csen \beta)+cb(c sen \alpha-b sen \alpha) \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow ab(k-k)+ac(k-k)+cb(k-k)= 0[/tex3]

[Natan]

Poderíamos chegar ao resultado observando que a primeira e segunda colunas são proporcionais, o que nos leva a saber que o determinante é nulo.