Ensino Superior ⇒ Valores Máximo e Mínimo Absolutos Tópico resolvido

[marciia]

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.

[tex3]f(x,y)= x^{2} + y^{2} +x^{2}y + 4[/tex3]
[tex3]D=\left\{(x,y)|\,\,\,|x| \leq 1, \,\,\,|y| \leq 1\right\}[/tex3]


Livro Cálculo II, James Stewart. Exercício 31, página 885. 6°Ed.

Resposta

---

[tex3]\text{m\'ax} (\pm 1,1),\,\,\, \text{m\'in} (0,0)[/tex3]

Obrigada!

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!!! Mais uma questão com a FONTE e com o gabarito

Uma solução:

Como f( x , y ) é contínua em D, podemos afirmar que existe máximo e mínimo absoluto, em que D é a região quadricular fechada, com vértices ( - 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( 1 , - 1 ) e ( - 1 , - 1 ).

Screenshot_20220702-153829-230.png (34.15 KiB) Exibido 442 vezes

Por outro lado, temos f( x , y ) = x² + y² + x²y + 4 , então,

f [tex3]_{x}[/tex3] = 2x + 2xy e f [tex3]_{y}[/tex3] = 2y + x²

D = { ( x , y ) / | x | ≤ 1 , | y | ≤ 1 }

f [tex3]_{x}[/tex3] = f [tex3]_{y}[/tex3] = 0 nos dá ( 0 , 0 ) como o único ponto crítico em D, com f( 0 , 0 ) = 4.

Em L1 : y = - 1 e f( x , - 1 ) = 5 , é uma constante.

Em L2 : x = 1 e f( 1 , y ) = y² + y + 5 , uma função quadrática em y que possui máximo em ( 1 , 1 ) , f( 1 , 1 ) = 7 , e mínimo ( 1 , - 1/2 ) , f( 1 , - 1/2 ) = 19/4.

Em L3 : f( x , 1 ) = 2x² + 5 , que possui máximo em ( - 1 , 1 ) e ( 1 , 1 ) com f( ± 1 , 1 ) = 7 e mínimo em ( 0 , 1 ) , f( 0 , 1 ) = 5.

Em L4 : f( - 1 , y ) = y² + y + 5 com máximo em ( - 1 , 1 ) , f( - 1 , 1 ) = 7 e mínimo em ( - 1 , - 1/2 ) , f( - 1 , - 1/2 ) = 19/4.

Assim, os máximos absolutos de f( x , y ) em D são ( ± 1 , 1 ) , f( ± 1 , 1 ) = 7 e o mínimo absoluto em ( 0 , 0 ) com f( 0 , 0 ) = 4.


Excelente estudo!