Pré-Vestibular ⇒ (FAUUSP - 1966) Progressão Aritmética

[ellan]

Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão?

Resposta:

Resposta

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[tex3]a_1=k.r , k\, \in\, Z[/tex3]

[matbatrobin]

Pela fórmula do termo geral temos:

[tex3]a_n=a_1+(n-1)r[/tex3], então fazendo a soma de quaisquer dois termos fica:

[tex3]a_i+a_j=2a_1+(j+i-2)r[/tex3] vemos que [tex3]2a_1[/tex3] não se encaixa na fórmula do termo geral, a não ser que a_1 exista em função da razão [tex3]r[/tex3].

Exempos: [tex3]a_1=2r[/tex3] teríamos [tex3]a_n=(n+1)r[/tex3] e [tex3]a_1+a_j=(j+i+1)r[/tex3]. Então como [tex3](n-1)[/tex3] sempre é inteiro, [tex3]a_1[/tex3] será [tex3]kr,\,k\in \mathbb{Z}[/tex3], assim [tex3]a_i+a_j=(j+i+k-1)r[/tex3] que é a única formulação possível para soma de quaisquer dois termos fazerem parte da P.A.