Física III ⇒ (CESMAC 2019/1) Energia potencial eletrostática Tópico resolvido

[CherryBoy]

Três partículas de carga Q, cada uma, encontram-se fixas no vácuo na forma de um triângulo retângulo com catetos iguais a L, como mostra a Figura 1 a seguir. A energia potencial eletrostática dessa configuração é E. Em seguida, uma partícula com carga idêntica às anteriores é acrescentada ao conjunto, completando o quadrado da Figura 2. A energia potencial eletrostática da configuração da Figura 2 é:

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a) E/2
b) E/[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
c) E
d) E [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
e) 2E

Resposta

---

R=E

[lmtosta]

CherryBoy,


A energia "E" dada para o conjunto formado por 3 partículas com carga "Q" cada, idênticas em carga, é dada pela soma da energia potencial elétrica das 3 partículas carregadas, de cada uma individualmente, em relação às demais!!!!!!!!!

Considerando "Q1" a carga da partícula de cima no arranjo da figura 1, "Q2" a carga da partícula de baixo à esquerda na figura 1 e "Q3" a carga da partícula de baixo à direita na figura 1!!!!!!!!!

Como energia é o produto da força pela distância, temos que a energia potencial elétrica é o produto da força elétrica pela distância de separação entre cargas, ou seja:
[tex3]E_{PE} = F_E*d = \frac {k*Q_1*Q_2} {d^2}*d = \frac {k*Q_1*Q_2} {d}[/tex3]!!!!!!!!!!!

Para o sistema como um todo, formado pelas 3 partículas carregadas, temos que:
[tex3]E_1(energia do arranjofigura1) = E_{PE}(cargas1e2)+E_{PE}(cargas2e3)+E_{PE}(cargas1e3)[/tex3]!!!!!!!!!!

Logo, temos que:
[tex3]E_1 = \frac {k*Q_1*Q_2} {L} + \frac {k*Q_2*Q_3} {L} + \frac {k*Q_1*Q_3} {x}[/tex3]!!!!!!!!!

Notamos que a distância entre as cargas 1 e 3 na figura 1 é dada justamente como um arranjo, pela distância de separação de uma hipotenusa em um triângulo retângulo!!!!!!!!!

Sabendo que as separações de carga 1 e 2 e de 2 e 3 equivalem aos catetos "L", obtemos a hipotenusa "x" pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]x^2 = L^2 + L^2 = 2L^2[/tex3]!!!!!!!!!
[tex3]x = \sqrt(2L^2) = \sqrt2*\sqrt(L^2) = \sqrt2*L[/tex3]!!!!!!!!!

Assumindo, conforme o próprio enunciado do exercício, que:
[tex3]Q_1 = Q_2 = Q_3 = Q[/tex3]

Obtemos finalmente a expressão definitiva para a energia potencial elétrica do arranjo da figura 1:
[tex3]E_1 = \frac {k*Q^2} {L} + \frac {k*Q^2} {L} + \frac {k*Q^2} {\sqrt2*L}[/tex3]!!!!!!!!!!!

Colocando a constante "k" em evidência, bem como as cargas, obtemos finalmente:
[tex3]E_1 = k*Q^2*(\frac {2} {L} + \frac {1} {\sqrt2*L})[/tex3]!!!!!!!!!

Agora vamos para a segunda parte do exercício!!!!!!!!!!

É mencionado que, para o arranjo 2 (figura 2), uma nova partícula de carga idêntica "Q" é adicionada ao sistema, formando um arranjo quadrangular!!!!!!!!

Isso adiciona mais energia ao sistema como um todo, pois agora teremos:
[tex3]E_2(energiadoarranjofigura2) = E_{PE}(cargas1e2) + E_{PE} (cargas2e3)+E_{PE} (cargas1e3)+E_{PE}(cargas1e4)+E_{PE}(cargas2e4)+E_{PE} (cargas 3e4)[/tex3]!!!!!!!!!

Considerando que as cargas 2 e 4 também formam um arranjo cuja distância é a hipotenusa de um segundo triângulo retângulo, com distância "[tex3]\sqrt2*L[/tex3], temos que:
[tex3]E_2 = \frac {k*Q^2} {L} + \frac {k*Q^2} {L} + \frac {k*Q^2} {\sqrt2*L} + \frac {k*Q^2} {L} + \frac {k*Q^2} {\sqrt2*L} + \frac {k*Q^2} {L}[/tex3]!!!!!!!!!

Novamente, colocando a constante e as cargas em evidência e somando os semelhantes, chegamos na expressão final para a energia "E2" do arranjo da figura 2:
[tex3]E_2 = k*Q^2*(\frac {4} {L} + \frac {2} {\sqrt2*L})[/tex3]!!!!!!!!!

Para entendermos o quão maior a energia do arranjo 2 é maior do que do arranjo 1, basta fazermos a razão entre eles:
[tex3]\frac {E_2} {E_1} = \frac {k*Q^2*(\frac {4} {L} + \frac {2} {\sqrt2*L})} {k*Q^2*(\frac {2} {L} + \frac {1} {\sqrt2*L})}[/tex3]!!!!!!!!!!

Cancelamos os dois termos "[tex3]k*Q^2[/tex3]" e obtemos:
[tex3]\frac {E_2} {E_1} = \frac {\frac {4} {L} + \frac {2} {\sqrt2*L}} {\frac {2} {L} + \frac {1} {\sqrt2*L}}[/tex3]!!!!!!!!!

Aplicando a racionalização de denominadores para as frações com denominador em raiz quadrada, vem que:
[tex3]\frac {E_2} {E_1} = \frac {\frac {4} {L} + \frac {2} {\sqrt2*L} * {\frac {\sqrt2*L} {\sqrt2*L}}} {\frac {2} {L} + \frac {1} {\sqrt2*L} * \frac {\sqrt2*L} {\sqrt2*L}}[/tex3]!!!!!!!!!!

Eliminando a raiz dos denominadores, vem que:
[tex3]\frac {E_2} {E_1} = \frac {\frac {4} {L} + \frac {2*\sqrt2*L} {2*L^2}} {\frac {2} {L} + \frac {\sqrt2*L} {2*L^2}}[/tex3]!!!!!!!!!

Simplificando os "2" e os "L", vem que:
[tex3]\frac {E_2} {E_1} = \frac {\frac {4} {L} + \frac {\sqrt2} {L}} {\frac {2} {L} + \frac {\sqrt2} {2L}}[/tex3]!!!!!!!!!

Somando termos com denominador comum em cima e colocando "1/L" em evidência em baixo:
[tex3]\frac {E_2} {E_1} = \frac {\frac {4 + \sqrt2} {L}} {\frac {1} {L} * (2 + \frac {\sqrt2} {2})} = \frac {\frac {4 + \sqrt2} {L}} {\frac {1} {L} * (2 + \frac {\sqrt2} {2})}*1 = \frac {\frac {4 + \sqrt2} {L}} {\frac {1} {L} * (2 + \frac {\sqrt2} {2})} * \frac {L} {L} = \frac {4 + \sqrt2} {2 + \frac {\sqrt2} {2}}[/tex3]!!!!!!!!

Note, na última igualdade acima, que se multiplicarmos o denominador "[tex3]2+\frac {\sqrt2} {2}[/tex3]" por "2", obteremos exatamente o numerador "[tex3]4+\sqrt2[/tex3]"!!!!!!!!!

Portanto, podemos afirmar que o resultado da razão é igual a "2"!!!!!!!!!!

Se quiser fazer um tira-teima, pode considerar a multiplicação no numerador e denominador por termos com sinais opostos para simplificar a expressão:
[tex3]\frac {E_2} {E_1} = \frac {4 + \sqrt2} {2 + \frac {\sqrt2} {2}} = \frac {4 + \sqrt2} {2 + \frac {\sqrt2} {2}}*1 = \frac {4 + \sqrt2} {2 + \frac {\sqrt2} {2}} * \frac {2-\frac {\sqrt2} {2}} {2-\frac {\sqrt2} {2}} = \frac {8-\frac {2} {2}} {4-\frac {2} {4}} = \frac {8-1} {4-0,5} = \frac {7} {3,5} = 2[/tex3]!!!!!!!!!!

Considerando, pelo enunciado, que a energia do arranjo 1 é igual a "E", ou seja:
[tex3]E_1 = E[/tex3], temos que:

[tex3]\frac {E_2} {E_1} = \frac {E_2} {E} = 2[/tex3]!!!!!!!!!!!

Logo:
[tex3]E_2 = 2E[/tex3]!!!!!!!!!!

Letra "E"!!!!!!!!!!

[lmtosta]

CherryBoy,


e demais interessados!!!!!!!!!


Por favor, se restou alguma dúvida de minha resolução, peço por gentileza que me perguntem!!!!!!!!!!

Terei imenso prazer em ajudar e sanar possíveis dúvidas, sejam elas quais forem, da Física envolvida em si até a Matemática que usei para chegar no resultado de "2E"!!!!!!!!!

Sintam-se à vontade!!!!!!!!!


Abraços.

[CherryBoy]

lmtosta, obrigada pela resposta! Consegui entender quase toda a resolução, só que depois que você colocou o ''1/L'' em evidência eu não entendi muito bem o que aconteceu.

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Não entendi o porquê de multiplicar por um. A respeito da multiplicação por L/L também fiquei confusa, foi uma simplificação?
Fora isso, entendi tudo. Muito obrigada!

[lmtosta]

CherryBoy,


A multiplicação por 1 e o "L/L" vêm de uma técnica matemática chamada "Método do Fator Unitário"!!!!!!!!!

É uma ferramenta matemática muito útil para simplificações e para deduzir novas fórmulas e equações!!!!!!!!

Vem da constatação inicial de que todo e qualquer número ou expressão numérica ou algébrica é igual a 1 vezes ela mesma, ou seja, por exemplo:
2 = 1*2
[tex3]x^2+449x-i = 1*(x^2+449x-i)[/tex3]
[tex3]\frac{y^3-x+2} {z^3-2} = 1*(\frac{y^3-x+2} {z^3-2})[/tex3]

E assim por diante, por exemplo!!!!!!!!

Como o resultado "1" vem da divisão de "o que quer que seja" por ele próprio, desde que não tenhamos a indeterminação de "0/0", podemos escrever o que quisermos e mudar como quisermos a fórmula ou equação trabalhada, desde que respeitada a razão do "que quer que seja" por ele próprio!!!!!!!!!

No problema em questão, tínhamos o termo "1/L" em evidência, como vocês mesma disse!!!!!!!!!

Esse termo de certa forma estava atrapalhando nossa resolução, visto que queríamos estabelecer uma relação numérica entre as energias, certo??????

Bem, sendo assim, eu precisava achar um meio para neutralizar esse termo, ou seja, sumir com ele da equação para evidenciar a relação numérica entre as energias, certo?????????

Mas não posso sumir com esse termo do nada, visto que a Matemática segue uma Lógica bem estabelecida e possui regras bem determinadas!!!!!!!!!

Então pensei:
"Para neutralizar o termo 1/L preciso de algum modo multiplicar por L, pois L*1/L dá L/L, que dá 1. Mas como fazê-lo mantendo a coerência matemática de todo o contexto do exercício???????"

Veja que tanto no numerador quanto no denominador da expressão "E2/E1", o termo "L" aparece nos respectivos denominadores!!!!!!!!

Daí, usando o Princípio da Identidade e o fato de que algo é igual a ele próprio vezes "1", cheguei na multiplicação por "1"!!!!!!!!

Como o "1" é igual a "qualquer coisa" dividida por ela própria, tirei proveito disso para citar "L/L". Veja que:
[tex3]1 = \frac {2} {2} = \frac {549.128} {549.128} = \frac{z^3-y+x^2-1} {z^3-y+x^2-1}(desde-que-não-resulte-em-indeterminação) = \frac{L} {L}(desde-que-não-resulte-em-indeterminação)[/tex3] etc!!!!!!!!!

Naturalmente, outras igualdades não me ajudariam, mas apenas "L/L", pois o "L" do numerador neutralizaria o "1/L" do numerador da expressão e o "L" do denominador neutralizaria o "1/L" do denominador da expressão, permitindo a manutenção apenas dos termos numéricos da expressão das energias!!!!!!!!!!

E não precisei me preocupar com a possibilidade de "L/L" ser uma indeterminação do tipo "0/0", pois se "L" fosse igual a zero, toda a relação "E2/E1" ficaria inviabilizada e comprometida, o que não era o caso, pois as alternativas mostram que a razão das energias possui uma solução fixa e bem definida, logo "L/L" não é uma indeterminação "0/0" e, portanto, deve ser igual a "1"!!!!!!!!!

Não sei se fui didático o suficiente, mas siga perguntando se necessário!!!!!!!!!

Pense no Método do Fator Unitário como uma ferramenta matemática a mais para você treinar e desenvolver, pois é extremamente útil e ajuda a "abrir" ainda mais a cabeça, o raciocínio, para as relações lógicas e matemáticas possíveis de se executar!!!!!!!!

Inclusive, me foi muito útil na graduação em Química e em Concursos Públicos!!!!!!!!

Se quiser treinar, veja que relações numéricas e algébricas simples podem ser trabalhadas com o método. Por exemplo, para provar que 0,5 dividido por ele mesmo é igual a "1". Pelo fator unitário:

[tex3]\frac{\frac{1} {2}} {\frac{1} {2}} = \frac{\frac{1} {2}} {\frac{1} {2}} * 1 = \frac{\frac{1} {2}} {\frac{1} {2}}*\frac{2} {2} = \frac{\frac{2} {2}} {\frac{2} {2}} = \frac{1} {1} = 1[/tex3]

Ou ainda, que 8 dividido por 0,5 é igual a 16. Usando o Fator Unitário, veja:

[tex3]\frac{8} {\frac{1} {2}} = \frac{8} {\frac{1} {2}} * 1 = \frac{8} {\frac{1} {2}} * \frac{2} {2} = \frac{16} {\frac{2} {2}} = \frac{16} {1} = 16[/tex3]!!!!!!!!!

E assim por diante!!!!!!!!!

Aposto que não te ensinam isto na Escola, não é mesmo?????????

[CherryBoy]

lmtosta, entendido! Obrigada : )

Aposto que não te ensinam isto na Escola, não é mesmo?????????

Terminei o ensino médio no ano passado e nunca ouvi falar desse método, achei muito interessante! Vou tentar aplicar quando precisar : )