Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest - 1998) Álgebra

[Auto Excluído (ID:3002)]

500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes.
a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.)
b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?

[jacobi]

500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes.
a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.)

[tex3]1 \ \ 2 \ \ 3[/tex3] --> foram distribuídas 6 moedas
[tex3]4 \ \ 5 \ \ 6[/tex3] --> foram distribuídas 15 moedas
[tex3]7 \ \ 8 \ \ 9[/tex3] --> foram distribuídas 24 moedas
Logo, [tex3]S = 6 + (n - 1).9 = 9n - 3[/tex3]
[tex3]9n - 3 = 500 \ ; \ n = 55,...[/tex3]
Para n = 55, temos que a quantidade de moedas usadas são 9.55 - 3 = 492. Com isso, sobraram 8 moedas e foram distribuídas para a pessoa A.

b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?[/quote]

[tex3]A = 1 + (55 - 1).3 + 8 = 171[/tex3]
[tex3]B = 2 + (55 - 1).3 = 164[/tex3]
[tex3]C = 3 + (55 - 1).3 = 165[/tex3]

[Cleunilson61]

A resposta acima parece estar errada.

[petrasMOD]

Cleunilson61,

O erro está em considerar o temo geral da PA = 500.

[tex3]\mathtt{

PA(1, 2, 3...n)
S=\frac{(1+n).n}{2}=\frac{n+n^2}{2}\leq 500\\
n=30 \implies930: n=31\implies 992 < 1000\checkmark
\therefore S = \frac{(1+31)31}{2} = 496 \implies restaram~4~ moedas\checkmark\\
A: (\underbrace{1,4,7...31}_{11~termos}) \therefore~ B~ recebeu ~as~4~moedas\checkmark \\
B:(\underbrace{2, 5, 8 ...29}_{10~termos})\\
C:(3,6, 9...30) \\
S_A = \frac{(1+31).11}{2}=176 \checkmark\\
S_B = \frac{(2+29)10}{2}=155+4 = 159 \checkmark\\
S_C = 500 - 176-159 = 165 \checkmark
}[/tex3]

[LostWalker]

Comentário

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Cleunilson61, conferi aqui os detalhes da conta e encontrei o que soava estranho. Toda a estrutura parece correta, mas dar [tex3]55[/tex3] voltas parece um exagero. O autor cometeu deixou passar um detalhe, mas todo o seu desenvolvimento seguiu a linha correta.




Erros na Conta

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Inicialmente eu tentei corrigir a conta da resolução original, mas eu escrevi uma resposta MUITO longa para regular as anuncias e por fim, apaguei tudo. Vou apontar as divergências. A resposta deixou passar que é necessário sempre somar o valor de uma rodada com as rodadas anterior. Assim, ele se limitou apenas a rodada que contou.

Uma forma fácil de exemplificar isso é olhar para a segunda rodada dele. Veja o esquema:

[tex3]\boxed{\begin{matrix}&\mbox{A}&\mbox{B}&\mbox{C}&\mbox{Total}\\\mbox{Rodada 1}&1&2&3&6\\\mbox{Rodada 2}&4&5&6&15\end{matrix}}[/tex3]


A resolução só considerou os valores da Rodada, ou seja, se no enunciado falasse que o total foram [tex3]16\,\mbox{moedas}[/tex3], a resolução resultaria nos dados da rodada 2, dizendo que, no final, [tex3]\mbox{A}[/tex3] ganhou [tex3]4+1[/tex3] (esse um seria a moeda excedente), [tex3]\mbox{B}[/tex3] ganhou [tex3]5[/tex3] e [tex3]\mbox{C}[/tex3] ganhou [tex3]6[/tex3]. Você consegue visualizar que as moedas da Rodada 1 foram ignoradas.

Veja por exemplo quantas moedas há até o fim da rodada 2:

[tex3]\mbox{A}=1+4=5[/tex3]
[tex3]\mbox{B}=2+5=7[/tex3]
[tex3]\mbox{C}=3+6=9[/tex3]


Veja que a diferença de que cada um ganha só vai aumentando, mas na resolução, todos diferem em apenas 1:

[tex3]\mbox{A}=163+8[/tex3]
[tex3]\mbox{B}=164[/tex3]
[tex3]\mbox{C}=165[/tex3]

nota: lembrando que os dados acima são da resolução dada

Esse são os erros da conta, que se voltou apenas sobre as moedas ganhas na rodadas, desconsiderando as outras.




Moedas a cada Divisão - Minha Resolução

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As moedas obrigatoriamente seguem uma PA [tex3](1,2,3,4,5,6,\dots n)[/tex3]. Sabemos então que a soma delas é igual ou menor que [tex3]500[/tex3], logo:

[tex3]\frac{\(1+n\)n}2\equiv500[/tex3]

[tex3]n^2+n\equiv1000[/tex3]

[tex3]n^2+n-1000\equiv0[/tex3]


Usando a equação das raízes, temos:

[tex3]n=\frac{-1\pm\sqrt{1^2+4\cdot1\cdot1000}}2[/tex3]

nota: aproximando a raiz e arredondando para baixo

[tex3]n=\frac{-1+63}2[/tex3]

[tex3]\boxed{n=31}[/tex3]




Identificando Quem Recebeu o Último Valor que Respeita a PA

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Como aproximamos para baixo, o valor aqui chega próximo. Esse [tex3]31[/tex3] se refere a última conta que respeitou a PA, então, primeiro, descobrimos quem recebeu [tex3]31[/tex3]. Se você observar bem, cada um pessoa recebe seguindo a ideia:

[tex3](R_1)+(n-1)\cdot3[/tex3]


No caso, do [tex3]A[/tex3], ele recebeu [tex3]R_1=1[/tex3], ou seja, uma moeda na primeira rodada, já vemos então que ele foi o último a receber moedas respeitando a PA:

[tex3]1+({\color{PineGreen}11}-1)\cdot3=31[/tex3]

E o [tex3]A[/tex3] recebeu isso durante a Rodada 11, sem que a mesma tenha terminado.




Moedas excedentes - Questão A

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Seguindo, a soma das moedas entregues até agora é:

[tex3]S=\frac{(1+31)\cdot31}2[/tex3]

[tex3]S=\frac{32\cdot31}2[/tex3]

[tex3]S=16\cdot31[/tex3]

[tex3]\boxed{S=496}[/tex3]


Ou seja, restam [tex3]4\,\mbox{moedas}[/tex3] que serão entregues a [tex3]\mbox B[/tex3].




Quanto Cada um Recebeu - Questão B

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Beleza, vamos terminar isso. O que aprendemos é que:

[tex3]\mbox A:[/tex3] Recebeu até a Rodada 11 respeitando a PA
[tex3]\mbox B:[/tex3] Recebeu até a Rodada 10 respeitando a PA + 4
[tex3]\mbox C:[/tex3] Recebeu até a Rodada 10 respeitando a PA


Para uma referência Visual:

[tex3]\boxed{\begin{matrix}&\mbox{A}&\mbox{B}&\mbox{C}&\mbox{Total Geral}\\\mbox{Rodada 1}&1&2&3&6\\\mbox{Rodada 2}&4&5&6&21=15+6\\\vdots\\\mbox{Rodada 10}&28&29&30&???\\\mbox{Rodada 11}&31&4&0&500\end{matrix}}[/tex3]


Montando uma PA para cada, temos:

[tex3]S_{A}=\frac{(1+31)\cdot11}2=16\cdot11=176[/tex3]

[tex3]S_{B}=\frac{(2+29)\cdot10}2+4=31\cdot5+4=159[/tex3]

[tex3]S_{C}=\frac{(3+30)\cdot10}2=33\cdot5=165[/tex3]


Resultado Final:

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\left|\begin{matrix}\mbox A=176\\\mbox B=159\\\mbox C=165\end{matrix}\right.}[/tex3]