Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica e Dobraduras Tópico resolvido

[rean]

Pegue uma folha de papel que tenha a espessura de, digamos, [tex3]0,1[/tex3] milímetros. Dobre-a ao meio e repita a operação. A folha agora tem uma espessura quatro vezes maior. Supondo que você disponha de uma folha grande o suficiente para um número ilimitado de dobraduras, quantas dobraduras seriam necessárias, aproximadamente, para que o papel ficasse da altura do pico da neblina?

[AnthonyC]

Sabemos que a cada dobradura, a espessura total do papel dobra. Assim, podemos definir a espessura [tex3]e_n[/tex3] recursivamente:
[tex3]e_n=2e_{n-1},~~n\geq 1[/tex3]
, sendo a espessura inicial [tex3]e_0=0,1 \text{ mm}=10^{-4} \text{ m}[/tex3]. Ou seja, a espessura do papel para um número [tex3]n[/tex3] de dobraduras é dado por uma P.G., no qual o termo geral pode ser escrito por:
[tex3]e_n=2^{n}e_0[/tex3]
O Pico da Neblina possui uma altura de aproximadamente [tex3]2.995 \text{ m}[/tex3]. Assim, podemos encontrar o número de dobraduras:
[tex3]2.995=2^n e_0[/tex3]
[tex3]2^n={2.995\over e_0}[/tex3]
[tex3]2^n={2.995\over10^{-4}}[/tex3]
[tex3]2^n={2.995\cdot10^{4}}[/tex3]
[tex3]\log_2\(2^n\)=\log_2\({2.995\cdot10^{4}}\)[/tex3]
[tex3]n=\log_2\({2.995\cdot10^{4}}\)[/tex3]
[tex3]n\approx24,83[/tex3]
Como [tex3]n[/tex3] deve ser inteiro, devemos ter [tex3]n=25[/tex3] dobraduras.