Ensino Superior ⇒ Aplicação de derivada! Tópico resolvido

[valzinha]

Uma ilha está em um ponto A, a 10Km do ponto B mais próximo sobe uma reta.Um armazém está no ponto C, a 20Km de B sobre a praia.Se um homem pode remar à razão de 4Km/h e andar àa razão de 5Km/h, onde deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível?

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Temos a seguinte figura da situação descrita pelo autor

Screenshot_20220718-153009-074.png (28.21 KiB) Exibido 642 vezes

Lembrando que S = v.t, então,

t1 = x/v1 → t1 = { √[ 10² + ( 20 - y )^2 ] }/4 ;

t2 = y/v2 → t2 = y/5.


Tempo total:

T = t1 + t2

T = = { √[ 10² + ( 20 - y )^2 ] }/4 + ( y/5 )

Desenvolvendo, obtemos

T = (1/4).( 500 - 40y + y² )[tex3]^{\frac{1}{2}}[/tex3] + ( y/5 )

Derivando...

T' = (1/4).(1/2).[( 500 - 40y + y² )[tex3]^{-\frac{1}{2}}][/tex3].( 2y - 40 ) + ( 1/5 )

Desenvolvendo, você irá obter

T' = [ 5y - 100 + 4√( 500 - 40y + y² ) ]/[ 20√( 500 - 40y + y² ) ]

Fazendo T' = 0, você irá obter

9y² - 360y + 2000 = 0

∆ = 57600

y = ( 360 ± 240 )/18

y1 = 33,33333 ; y2 = 6,66666.

Portanto, o homem deveria desembarcar a 13,33km de B e a 6,67km de C.



Excelente estudo!